La Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica

martes 11 de agosto de 2009

Ind= ice=20

Pr=C3=B3logo

1. El modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr=20 I

2. El modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr=20 II

3. La=20 espectroscop=C3=ADa de rayos-X

4. La extra=C3=B1a ecuaci=C3=B3n de Max=20 Born

5. Vectores y matrices = I

6. Vectores y matrices = II

7. El an=C3=A1lisis de = Fourier

8. La regla de multiplicaci=C3=B3n de=20 Heisenberg

9. = Observables compatibles e=20 incompatibles

10. Oscilador arm=C3=B3nico simple: = soluci=C3=B3n=20 matricial

11. = Matrices y = probabilidad

12. El principio de incertidumbre=20 I

13. El=20 principio de incertidumbre II

14. El experimento = Stern-Gerlach

15. El spin del = electr=C3=B3n

16. Momento angular: tratamiento matricial=20 I

17. Momento angular: tratamiento matricial=20 II

18. Momento angular: tratamiento matricial=20 III

19. La energ=C3=ADa = rotacional

20. Matrices y = sub-matrices

21. Soluci=C3=B3n matricial del =C3=A1tomo de=20 hidr=C3=B3geno

22. Funciones = matriciales

23. De la mec=C3=A1nica cl=C3=A1sica a la = mec=C3=A1nica=20 matricial

24. = La=20 matriz momentum como generadora de traslaci=C3=B3n

25. La=20 matriz generadora de rotaci=C3=B3n

26. Rotaciones de las matrices de=20 Pauli

27. Evoluci=C3=B3n=20 temporal de los sistemas f=C3=ADsicos

28. Matrices continuas

29. Ondas de materia

30. La ecuaci=C3=B3n de Schr=C3=B6dinger

31. Soluci=C3=B3n=20 matem=C3=A1tica de la ecuaci=C3=B3n de onda

32. Soluci=C3=B3n=20 num=C3=A9rica de la ecuaci=C3=B3n de = Schr=C3=B6dinger

33. Interpretaci=C3=B3n=20 probabilista de =CF=88 I

34. Interpretaci=C3=B3n=20 probabilista de =CF=88 II

35.=20 Operadores y esperanzas matem=C3=A1ticas=20 I

36. Operadores y esperanzas matem=C3=A1ticas=20 II

37. Oscilador arm=C3=B3nico simple: = soluci=C3=B3n=20 ondulatoria

38. La funci=C3=B3n delta de = Dirac

39. Transmisi=C3=B3n y reflexi=C3=B3n de = part=C3=ADculas=20 I

40. Transmisi=C3=B3n y reflexi=C3=B3n de = part=C3=ADculas=20 II

41. Transmisi=C3=B3n y reflexi=C3=B3n de = part=C3=ADculas=20 III

42. Transmisi=C3=B3n=20 y reflexi=C3=B3n de part=C3=ADculas IV

43. El=20 potencial delta de Dirac

44. Ondas de simetr=C3=ADa circular y=20 esf=C3=A9rica

45. La notaci=C3=B3n bra-ket de Dirac=20

46. El=20 espacio de Hilbert I

47. El=20 espacio de Hilbert II

48.=20 Operadores = Hermitianos

49. Los operadores escalera=20 I

50. Los=20 operadores escalera II

51.=20 El principio de incertidumbre,=20 revisitado

52. La=20 part=C3=ADcula libre

53. El acto de = medici=C3=B3n

54. Momento angular: an=C3=A1lisis ondulatorio=20 I

55. Momento angular: an=C3=A1lisis ondulatorio=20 II

56. Momento angular orbital: funciones de onda=20 I

57. Momento=20 angular orbital: funciones de onda II

58. La funci=C3=B3n de onda=20 radial

59. La=20 funci=C3=B3n de onda del momento angular del spin

60. El principio de exclusi=C3=B3n de=20 Pauli

61. El proceso de construcci=C3=B3n=20 Aufbau

62. El acoplamiento = LS

63. La=20 suma de momentos angulares

64. Las=20 reglas de selecci=C3=B3n

65. T=C3=A9cnicas=20 de aproximaci=C3=B3n I

66.=20 T=C3=A9cnicas de aproximaci=C3=B3n II

67. T=C3=A9cnicas=20 de aproximaci=C3=B3n III

68. El=20 m=C3=A9todo de aproximaci=C3=B3n WKB I

69. El=20 m=C3=A9todo de aproximaci=C3=B3n WKB II

70. El enlace molecular

71. La hibridaci=C3=B3n de los orbitales=20 at=C3=B3micos

72. El espacio-posici=C3=B3n y el = espacio-momentum=20 I

73. El espacio-posici=C3=B3n y el = espacio-momentum=20 II

74. El=20 espacio-posici=C3=B3n y el espacio-momentum III

75. La ecuaci=C3=B3n de movimiento de=20 Heisenberg

76. Mec=C3=A1nicas Matricial y Ondulatoria:=20 equivalencia

77. Evoluci=C3=B3n=20 temporal de las ondas de materia I

78. Evoluci=C3=B3n temporal de las ondas de = materia=20 II

79. Las representaciones de Heisenberg y=20 Schr=C3=B6dinger

80. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica I

81. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica II

82. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica III

83. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica IV

84. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica V

85. Mec=C3=A1nica=20 Estad=C3=ADstica Cu=C3=A1ntica VI

86. La=20 matriz densidad I

87. La=20 matriz densidad II

88. <= I>El=20 l=C3=A1ser

89. El=20 teorema virial

90. Espectroscop=C3=ADas=20 de resonancia magn=C3=A9tica I

91. Espectroscop=C3=ADas=20 de resonancia magn=C3=A9tica II

92. Espectroscop=C3=ADas=20 de resonancia magn=C3=A9tica III

93. Espectroscop=C3=ADas=20 de resonancia magn=C3=A9tica IV

94. La=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica Relativista

Recursos=20 de software

Constantes fundamentales y factores de=20 conversi=C3=B3n

Bibliografia

Enlaces Wikipedia=20

Pr=C3= =B3logo=20

Empezaremos con la pregunta m=C3=A1s = obvia: =C2=BFpor qu=C3=A9=20 otro texto sobre Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica, habiendo ya tantos libros = excelentes en el=20 mercado? La respuesta obvia ser=C3=ADa: la gran mayor=C3=ADa de esos = libros fueron=20 publicados e impresos en una =C3=A9poca en la que no exist=C3=ADa = Internet. Se trata de=20 libros que s=C3=B3lo pueden obtenerse y consultarse en las bibliotecas y = librer=C3=ADas, y=20 ello suponiendo que no sean libros que han dejado de imprimirse desde = hace=20 varias d=C3=A9cadas. La segunda respuesta obvia ser=C3=ADa: dados los = costos actuales de=20 impresi=C3=B3n de libros t=C3=A9cnicos y cient=C3=ADficos, en su = mayor=C3=ADa se trata de libros de=20 costo elevado que no se encuentran disponibles a la venta en la = mayor=C3=ADa de las=20 librer=C3=ADas y tienen que ser pedidos bajo orden especial con tiempos = de espera que=20 pueden durar semanas. Una tercera respuesta obvia ser=C3=ADa: la = mayor=C3=ADa de los=20 textos que tratan sobre Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica est=C3=A1n escritos = en un idioma=20 extranjero, en Ingl=C3=A9s, en Alem=C3=A1n, e inclusive en Ruso, = Alem=C3=A1n o=20 Japon=C3=A9s.

A las anteriores razones para elaborar un texto = sobre Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica podr=C3=ADamos agregar otras, siendo una de ellas la queja = frecuente de que=20 muchos textos relegan material importante a ejercicios y problemas = puestos al=20 final de cada cap=C3=ADtulo para los cuales la gran mayor=C3=ADa de las = veces ni siquiera=20 se proporciona respuesta. Y aunque esto tal vez no represente = obst=C3=A1culo alguno=20 para aquellos que cuenten con un buen maestro y que est=C3=A9n = atendiendo clases en=20 una escuela de amplio prestigio, para aquellos autodidactas que no = tienen el=20 privilegio de poder asistir a clases a una instituci=C3=B3n de = educaci=C3=B3n superior tal=20 vez no haya algo m=C3=A1s frustrante que el tener que estar batallando = con un libro=20 en el que muchos resultados importantes son relegados a ejercicios y = problemas=20 para los que no se d=C3=A1 respuesta alguna y por lo tanto no hay forma = en la cual el=20 estudiante autodidacta pueda medirse a s=C3=AD mismo su comprensi=C3=B3n = del=20 material.

A las anteriores objeciones se puede agregar una = m=C3=A1s, el hecho=20 de que en el enfoque moderno de la ense=C3=B1anza de la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica hay la=20 tendencia a la adopci=C3=B3n de un punto de vista rigurosamente formal, = deductivo, en=20 el cual se parten de ciertos postulados y definiciones y se procede a la = derivaci=C3=B3n de f=C3=B3rmulas y teoremas sin entender muchas veces lo = que est=C3=A1=20 sucediendo detr=C3=A1s de todo el aparato matem=C3=A1tico. En este = enfoque riguroso se ha=20 perdido la perspectiva de c=C3=B3mo fu=C3=A9 que tras el exitoso = desarrollo del modelo=20 planetario del =C3=A1tomo de Bohr se desarroll=C3=B3 la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica Matricial. Antes=20 de que la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica Ondulatoria de Schr=C3=B6dinger = hiciera su aparici=C3=B3n, con=20 la Mec=C3=A1nica Matricial de Heisenberg ya se hab=C3=ADan logrado = avances importantes.=20 Pese a ello, no es raro encontrarse con la sorpresa de que hay = estudiantes a=20 nivel de Doctorado en F=C3=ADsica que no tienen ni siquiera la m=C3=A1s = vaga idea de c=C3=B3mo=20 fue que se desarroll=C3=B3 la Mec=C3=A1nica Matricial, acostumbrados = como est=C3=A1n a pensar=20 desde el punto de vista de la Mec=C3=A1nica Ondulatoria. En este trabajo = se intenta=20 rescatar el origen y desarrollo de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica a = partir de la Mec=C3=A1nica=20 Matricial, y c=C3=B3mo posteriormente result=C3=B3 que tanto la = Mec=C3=A1nica Ondulatoria como=20 la Mec=C3=A1nica Matricial resultaron ser esencialmente lo mismo pero = visto desde=20 perspectivas matem=C3=A1ticas diferentes.

La estructura de esta = obra refleja=20 la opini=C3=B3n muy particular del autor de que la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica como est=C3=A1 siendo=20 ense=C3=B1ada el d=C3=ADa de hoy es al rev=C3=A9s de=20 como deber=C3=ADa de ser ense=C3=B1ada. Por convenci=C3=B3n casi = universal, se empieza casi=20 siempre con la Mec=C3=A1nica Ondulatoria a partir de la ecuaci=C3=B3n = diferencial de=20 Schr=C3=B6dinger, y s=C3=B3lo despu=C3=A9s se introduce al alumno a la = Mec=C3=A1nica Matricial, y=20 ello en muchos casos de modo incompleto que no permite apreciar la = equivalencia=20 que hay entre ambos ramas de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica. = Hist=C3=B3ricamente, antes de que=20 hubiera una Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica Ondulatoria basada en la = ecuaci=C3=B3n de Schr=C3=B6dinger,=20 hab=C3=ADa ya una Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica Matricial, y las = matem=C3=A1ticas utilizadas en ella=20 para explicar el mundo sub-at=C3=B3mico estaban basadas no en la = aplicaci=C3=B3n de=20 ecuaciones diferenciales sino en la aplicaci=C3=B3n de matrices. El = principio de=20 incertidumbre formulado originalmente por Werner Heisenberg surgi=C3=B3 = de la=20 aplicaci=C3=B3n de las matrices al estudio de la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica, y la=20 justificaci=C3=B3n del mismo dentro de la Mec=C3=A1nica Ondulatoria solo = vino despu=C3=A9s.=20 Muchas de las ideas elementales f=C3=A1cilmente entendibles a = trav=C3=A9s de la aplicaci=C3=B3n=20 de las matrices prescindiendo de los menos intuitivos operadores = diferenciales=20 se pueden tranportar posteriormente a la Mec=C3=A1nica Ondulatoria = teniendo una=20 visi=C3=B3n m=C3=A1s clara de lo que est=C3=A1 sucediendo. Esta = visi=C3=B3n fue lo que le permiti=C3=B3 a=20 los fundadores de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica poder seguir adelante. = Al invertirse el=20 orden de las cosas, resulta f=C3=A1cil terminar enredado en un conjunto = de postulados=20 y definiciones aparentemente inconexos cuya agresividad s=C3=B3lo puede = ser=20 enfrentada con la esperanza de que conforme se va avanzando se va = aclarando el=20 orden de las cosas, lo cual no siempre sucede. Una ventaja indudable de = la=20 Mec=C3=A1nica Matricial es que sus fundamentos pueden ser transmitidos = sin el=20 prerequisito de que el interesado en estudiarla haya tomado un curso de = c=C3=A1lculo=20 infinitesimal. En su mayor parte, con una noci=C3=B3n b=C3=A1sica de = vectores y matrices=20 suplementada con algunas definiciones como las que se proporcionan = aqu=C3=AD, la=20 Mec=C3=A1nica Matricial puede ser entendida cuando a=C3=BAn no se tiene = idea alguna de lo=20 que son las integrales y las diferenciales. En contraste, la = Mec=C3=A1nica=20 Ondulatoria exige como requisito indispensable el manejo no s=C3=B3lo de = las=20 herramientas del c=C3=A1lculo infinitesimal sino inclusive del material = que se ve en=20 un curso ordinario de ecuaciones diferenciales. Desde el punto de vista=20 pedag=C3=B3gico, tiene mucho sentido empezar primero con la = Mec=C3=A1nica Matricial que=20 con la Mec=C3=A1nica Ondulatoria.

Generalmente es reconocido el = hecho de que=20 el papel publicado en julio de 1925 por Werner = Heisenberg es=20 el que di=C3=B3 fin a la =E2=80=9CTeor=C3=ADa Cu=C3=A1ntica = Vieja=E2=80=9D, y que con la exposici=C3=B3n de su=20 Mec=C3=A1nica Matricial se di=C3=B3 entrada a la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica tal como se conoce y se=20 practica en la actualidad. Desafortunadamente este trabajo, el cual = inici=C3=B3 la=20 revoluci=C3=B3n te=C3=B3rica de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica, es = considerado como material de=20 dif=C3=ADcil lectura debido en parte a que Heisenberg, adhiri=C3=A9ndose = a las=20 convenciones de formalidad y rigorismo, le proporcion=C3=B3 a los = lectores muy pocas=20 pistas sobre c=C3=B3mo fue que lleg=C3=B3 a los resultados consignados = en su trabajo.=20 Llenar estos huecos no es f=C3=A1cil, aunque con un poco de = imaginaci=C3=B3n podemos=20 intu=C3=ADr cu=C3=A1l fue la l=C3=ADnea de pensamiento seguida por = Heisenberg para describir=20 los fen=C3=B3menos del mundo sub-microsc=C3=B3pico usando matrices. = Curiosamente, cuando=20 Heisenberg dedujo su famosa =E2=80=9Cf=C3=B3rmula de sumaci=C3=B3n de = t=C3=A9rminos cuadr=C3=A1ticos=E2=80=9D, no se=20 hab=C3=ADa dado cuenta de que se trataba en realidad de la regla para la = multiplicaci=C3=B3n de matrices. Afortunadamente, pronto entraron otros = acad=C3=A9micos de=20 prestigio en acci=C3=B3n, los cuales reconocieron que la nueva ciencia = era en esencia=20 una ciencia basada en el uso de las matrices. Independientemente, Erwin = Schr=C3=B6dinger=20 inspirado en las ideas de Louis de = Broglie=20 desarroll=C3=B3 otro tipo de Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica basada no en el = uso de matrices sino=20 en el uso de operadores diferenciales. Las similitudes no tardaron en = aflorar,=20 como tampoco pas=C3=B3 mucho tiempo antes de que se lograra la = unificaci=C3=B3n=20 operacional de ambas ideas en una sola.

Desafortunadamente, = muchos textos=20 contempor=C3=A1neos en el tema de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica no = hacen una distinci=C3=B3n clara=20 entre lo que es la Mec=C3=A1nica Matricial de Heisenberg y lo que es la = Mec=C3=A1nica=20 Ondulatoria de Schr=C3=B6dinger, y en cambio hacen un excelente trabajo = en revolver=20 ambos conceptos desde el inicio de modo tal que el lector muchas veces = no est=C3=A1=20 seguro sobre las diferencias entre los procedimientos y las = filosof=C3=ADas de ambas=20 escuelas de pensamiento. Con la finalidad de evitar las confusiones que = de tales=20 mescolanzas injustificadas devienen, se ha trazado una l=C3=ADnea = divisoria clara=20 entre ambas ramas de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica, poniendo pie firme = en la Mec=C3=A1nica=20 Matricial y desarrollando esta escuela de pensamiento como si la = Mec=C3=A1nica=20 Ondulatoria no existiese. Eventualmente, al llegar al tema = =E2=80=9COndas de materia=E2=80=9D,=20 se hace un parteaguas y se deja atr=C3=A1s a la Mec=C3=A1nica Matricial = para estudiar la=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica desde la perspectiva ondulatoria. Esto = permite una ir=20 distinguiendo las semejanzas y las diferencias, hasta que eventualmente = se llega=20 al punto de lo que podr=C3=ADamos llamar la =E2=80=9Cgran = unificaci=C3=B3n=E2=80=9D de ambas filosof=C3=ADas=20 demostrando la equivalencia matem=C3=A1tica que hay entre ambas sin = revolver sus=20 conceptos fundamentales.

Una ventaja indudable del estudio = as=C3=AD sea somero=20 de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica es que proporciona una respuesta a los = estudiantes del=20 =C3=81lgebra Lineal que al ser confrontados con material aparentemente = abstracto como=20 las matrices Hermitianas, los valores propios eigen, los espacios vectoriales, la = ecuaci=C3=B3n=20 caracter=C3=ADstica de una matriz, la normalizaci=C3=B3n de vectores, = etc, no tardan en=20 formularse la pregunta: =C2=BFy para qu=C3=A9 puede servir todo esto? = =C2=BFQu=C3=A9 utilidad=20 pr=C3=A1ctica puede tener? Todo este material aparentemente inaplicable = en nuestra=20 vida cotidiana es precisamente lo que nos hizo posible explicar = exitosamente=20 toda una amplia variedad de fen=C3=B3menos f=C3=ADsicos que no tienen = nada de abstracto.=20 De hecho, fue precisamente el desarrollo de la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica lo que=20 posibilit=C3=B3 el desarrollo y el enorme inter=C3=A9s actual en el = =C3=81lgebra Lineal. De no=20 ser por la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica, el inter=C3=A9s en esta materia = seria m=C3=A1s acad=C3=A9mico que=20 pr=C3=A1ctico.

Esta obra adopta el mismo esp=C3=ADritu de = elaboraci=C3=B3n que el=20 utilizado en una obra anterior, La = Teor=C3=ADa de la=20 Relatividad. No se ha puesto un solo problema o ejercicio para el = que no=20 se est=C3=A9 dando respuesta alguna, ni se han escatimado pasos que = permitan seguir=20 el desarrollo de un tema con un cien por ciento de comprensi=C3=B3n. En = donde lo he=20 considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de = pr=C3=A1ctica que el=20 lector puede intentar resolver por s=C3=AD mismo antes de irse un poco = m=C3=A1s abajo del=20 mismo para ver su soluci=C3=B3n. En ning=C3=BAn caso he inclu=C3=ADdo = problema o ejercicio para=20 el que yo no d=C3=A9 soluci=C3=B3n alguna, porque es mi objetivo no dejar con dudas a los lectores. Y = esto=20 aplica a toda la obra, marcando un distanciamiento con otros autores que = proponen una cantidad a veces abundante de problemas al final de cada = cap=C3=ADtulo=20 sin dar respuesta alguna a los mismos. Tomemos por ejemplo el problema = 13-6=20 postulado en el libro =E2=80=9CIntroduction to Quantum = Mechanics=E2=80=9D de Robert H. Dicke y=20 James P. Wittke al final del cap=C3=ADtulo 13 que dice as=C3=AD:

13-6. Se llevan a cabo mediciones compatibles sobre un = =C3=A1tomo de un=20 solo electr=C3=B3n, produciendo los resultados de que l =3D 3, j =3D 7/2 y m_j =3D 1/2. (a) = =C2=BFCu=C3=A1l es la=20 probabilidad de que una medici=C3=B3n posterior de S_x = produzca 1/2? (b)=20 Si un conjunto posterior de mediciones produce l =3D 1, m_l =3D 0 y m_s =3D 1/2, = =C2=BFcu=C3=A1l es la=20 probabilidad de que una medici=C3=B3n posterior producir=C3=A1 j =3D = 3/2?

Para=20 este problema, los autores no s=C3=B3lo no proporcionan un m=C3=A9todo = abreviado de=20 soluci=C3=B3n, =C2=A1ni siquiera proporcionan las respuestas = num=C3=A9ricas que habr=C3=ADan cabido=20 f=C3=A1cilmente en medio rengl=C3=B3n! Entonces, =C2=BFqu=C3=A9 caso = tiene utilizar el conjunto=20 particular de valores proporcionado por los autores, si no hay ni = siquiera una=20 respuesta num=C3=A9rica contra la cual se puedan comparar los = resultados? Suponiendo=20 que una respuesta sea proporcionada, y si los autores hicieron bien su = trabajo y=20 la respuesta dada por ellos es la correcta, entonces obtener una = respuesta igual=20 a la proporcionada por los autores puede servir como est=C3=ADmulo y = como=20 confirmaci=C3=B3n de que el material del texto ha sido entendido = correctamente. Y si=20 la respuesta obtenida es diferente a la respuesta dada por los autores, = esta=20 retroalimentaci=C3=B3n tambi=C3=A9n puede servir como estimulo y como = aliciente para=20 buscar el error o la equivocaci=C3=B3n que se pudo haber cometido. Pero = cuando no se=20 proporciona ning=C3=BAn tipo de respuesta, no hay tales est=C3=ADmulos = ni alicientes, y=20 antes bien la experiencia puede resultar frustrante en especial para los = autodidactas que est=C3=A1n estudiando un libro por cuenta = propia.

Sobre esto=20 =C3=BAltimo habr=C3=A1 quienes argumenten que para ello est=C3=A1n las = instituciones de=20 educaci=C3=B3n superior, para aclarar y despejar dudas. Sin embargo, = ello supone que=20 todos los maestros en todas las instituciones de educaci=C3=B3n superior = son capaces=20 de resolver correctamente y sin p=C3=A9rdida de tiempo todos los = problemas del libro=20 que est=C3=A1 siendo utilizado como texto para un curso de Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica. Mi=20 experiencia personal me ha mostrado y confirmado en demasiadas ocasiones = que=20 esto no siempre es el caso, y no es inusual la situaci=C3=B3n en la cual = sobre alg=C3=BAn=20 problema en particular un maestro tenga tantas dudas como el = alumno.

Por=20 otro lado, pese a que se pudiera argumentar que los autodidactas que = necesitan=20 ayuda son aquellos que no est=C3=A1n inscritos formalmente en alguna = instituci=C3=B3n de=20 educaci=C3=B3n superior, este argumento se desmorona ante el hecho de = que la gran=20 mayor=C3=ADa de textos (y as=C3=AD lo presumen sus autores) contiene = m=C3=A1s material y m=C3=A1s=20 problemas que los que pueden ser cubiertos en un per=C3=ADodo ordinario = de clases=20 (anual, semestral, etc.), de modo tal que ni siquiera en circunstancias = ideales=20 ser=C3=A1 posible cubrir los procedimientos de soluci=C3=B3n para todos = los problemas=20 propuestos en cualquier libro de texto t=C3=ADpico, y de hecho ni = siquiera ser=C3=A1=20 posible cubrir el material principal =E2=80=9Cpor falta de = tiempo=E2=80=9D. No creo que haya ni=20 siquiera en las escuelas de ense=C3=B1anza media alg=C3=BAn maestro de = =C3=A1lgebra o de=20 trigonometr=C3=ADa que haya cubierto en el sal=C3=B3n de clases todos = los treinta o=20 cuarenta cap=C3=ADtulos de los que consta el libro que seleccion=C3=B3 = para impartir su=20 materia, a menos de que el libro haya sido dise=C3=B1ado = espec=C3=ADficamente para poder=20 ser cubierto en su totalidad en un per=C3=ADodo ordinario de clases (lo = cual nunca=20 ocurre). Y peor a=C3=BAn, aunque en un libro intermedio de 40 = cap=C3=ADtulos se hayan=20 alcanzado a cubrir =C3=BAnicamente 35 cap=C3=ADtulos, suele ocurrir con = demasiada=20 frecuencia que en cursos posteriores (m=C3=A1s avanzados) los maestros = d=C3=A1n por=20 cubiertos =E2=80=9Cpreviamente=E2=80=9D esos cinco cap=C3=ADtulos que no = se alcanzaron a cubrir en el=20 ciclo educativo anterior =E2=80=9Cpor falta de tiempo=E2=80=9D, lo cual = no es tomado como=20 justificante de la ignorancia parcial aunque verdaderamente lo sea. Esto = le deja=20 al alumno la tarea de tener que seguir estudiando por cuenta propia = aquello que=20 no se pudo ver en el sal=C3=B3n de clases, lo cual significa que en = realidad todos=20 los estudiantes son autodidactas, lo quieran o no. Si agravando la = situaci=C3=B3n=20 est=C3=A1 el hecho de que muchos libros est=C3=A1n incompletos (en el = caso del libro de=20 Robert H. Dicke y James P. Wittke, los autores no proporcionan = procedimiento=20 alguno de soluci=C3=B3n a ninguno de los problemas en ninguno de los = cap=C3=ADtulos de su=20 libro), el aprendizaje se puede convertir en una experiencia frustrante = e=20 inclusive desagradable. En principio, al terminar un curso un estudiante = deber=C3=ADa=20 saber c=C3=B3mo resolver la totalidad de los problemas propuestos al = final de cada=20 cap=C3=ADtulo por el autor o los autores del libro que haya sido = seleccionado para=20 impartir la materia; esto calificar=C3=ADa incondicionalmente al alumno = para pasar al=20 siguiente nivel. A como est=C3=A1n las cosas, es dudoso que inclusive el = maestro=20 t=C3=ADpico del estudiante t=C3=ADpico sepa resolver o haya resuelto = todos los problemas=20 del libro que est=C3=A1 utilizando para impartir su curso, con lo cual = el estudiante=20 pesimista se puede preguntar a s=C3=AD mismo en alguna ocasi=C3=B3n: = =C2=BFc=C3=B3mo se espera que=20 yo conozca y domine bien la materia, si ni siquiera el que me la = imparti=C3=B3 lo ha=20 logrado? Y si bien en muchos cursos de qu=C3=ADmica, f=C3=ADsica y = matem=C3=A1ticas se=20 considera no s=C3=B3lo aceptable sino incluso inevitable el que no se = alcanzar=C3=A1n a=20 cubrir los materiales en su totalidad, =C2=BFdesear=C3=ADa alguien = ponerse en manos de un=20 m=C3=A9dico que tampoco alcanz=C3=B3 a cubrir en su totalidad sus libros = de texto? =C2=BFQui=C3=A9n=20 quiere tomar el riesgo de atenderse del mal que lo aqueja con un = m=C3=A9dico que de=20 los 50 cap=C3=ADtulos de cierta materia que deber=C3=ADa de haber = cubierto s=C3=B3lo alcanz=C3=B3 a=20 cubrir 49, con la posibilidad de que los conocimientos que requiere el = m=C3=A9dico=20 para el diagn=C3=B3stico y tratamiento correcto del paciente se = encontraban=20 precisamente en ese cap=C3=ADtulo que ya no alcanz=C3=B3 a ver = =E2=80=9Cpor falta de tiempo=E2=80=9D?=20 Afortunadamente, con el advenimiento de Internet, a nivel internacional = se est=C3=A1=20 produciendo ya una purga de todas estas deficiencias, y tal vez no = est=C3=A1 lejano=20 el momento en el que nuevas generaciones se pregunten c=C3=B3mo nos fue = posible vivir=20 con este tipo de situaciones por tanto tiempo al igual que nosotros nos=20 preguntamos hoy c=C3=B3mo le fue posible a nuestros antecesores el poder = vivir en los=20 tiempos antes de los cuales fuese inventado el papel sanitario (un = invento=20 relativamente reciente, concebido por Arthur Scott a principios del = siglo XX) o=20 sin el tel=C3=A9fono celular o sin los antibi=C3=B3ticos, ya no se diga = el=20 Internet.

El estilo de la obra es informal, como debe serlo = cuando su=20 prop=C3=B3sito es eminentemente educativo. Dejaremos la elegancia y el = rigorismo para=20 la publicaci=C3=B3n de trabajos cient=C3=ADficos en jornales en los que = se lleva a cabo la=20 revisi=C3=B3n de pares. Se ha = hecho un=20 esfuerzo por recurrir a todo el arsenal disponible de elementos did=C3=A1cticos y pedag=C3=B3gicos para poder mantener centrada la atenci=C3=B3n = del lector sobre=20 el tema que se est=C3=A1 discutiendo, incluyendo numerosas figuras y = diagramas as=C3=AD=20 como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar = la=20 importancia de algo en espec=C3=ADfico; y del mismo modo me he permitido = agregar=20 pasos extra en la derivaci=C3=B3n de resultados que frecuentemente son = omitidos en=20 los textos impresos. El objetivo de todo esto es que que los materiales = puedan=20 ser comprendidos de una manera intuitiva. Aunque en una cadena de = razonamientos=20 hay muchas explicaciones y muchos pasos que son m=C3=A1s que obvios para = el maestro o=20 para el especialista, pasos que son omitidos en la publicaci=C3=B3n de = trabajos=20 cient=C3=ADficos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los = que est=C3=A1n=20 iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, = y es=20 aqu=C3=AD en donde cualquier explicaci=C3=B3n adicional o comentarios = extra pueden ser de=20 gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin = dejarle dudas=20 sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el = esfuerzo=20 que se ha estado llevando a cabo en esta obra. La obligaci=C3=B3n del = maestro no es=20 dar explicaciones elegantes, = su=20 obligaci=C3=B3n es dar explicaciones entendibles, su obligaci=C3=B3n es = ense=C3=B1ar, y en la medida en que = el maestro=20 pueda lograr esto habr=C3=A1 cumplido (o fracasado) en su misi=C3=B3n = fundamental que=20 consiste en la transmisi=C3=B3n de conocimientos. Las explicaciones = elegantes,=20 concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se = pueden=20 dejar para la publicaci=C3=B3n de trabajos cient=C3=ADficos para cuya = lectura se supone=20 que los lectores est=C3=A1n familiarizados e inclusive son expertos en = el tema. Una=20 vez entendidos los materiales, el lector podr=C3=A1 hacer compactaciones = a su gusto=20 en la notaci=C3=B3n volviendo la terminolog=C3=ADa tan abstracta que tal = que tal vez s=C3=B3lo=20 =C3=A9l sabr=C3=A1 a ciencia cierta de lo que est=C3=A1 hablando. = Desafortunadamente, muchos=20 textos mal llamados =E2=80=9Cintroductorios=E2=80=9D de Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica est=C3=A1n elaborados de=20 esta manera, suponiendo que los lectores ya son unos avezados = conocedores en la=20 materia y que s=C3=B3lo est=C3=A1n leyendo los materiales para = formalizar su=20 entendimiento, o bien siempre tendr=C3=A1n a la mano un experto en la = materia que les=20 podr=C3=A1 disipar todas sus dudas lo cual lamentablemente no es la = regla sino la=20 excepci=C3=B3n.

Este texto intenta adoptar una introducci=C3=B3n = amigable a la=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica, en lugar del procedimiento axiom=C3=A1tico = formal y riguroso al=20 que se ha acostumbrado a someter a varias generaciones de estudiantes. = Un=20 formalismo cargado de notaciones nuevas es aceptable cuando las ideas = b=C3=A1sicas=20 han sido plenamente desarrolladas y la evoluci=C3=B3n de las mismas ha = sido=20 plenamente comprendida, pero est=C3=A1 totalmente fuera de lugar cuando = los=20 materiales est=C3=A1n siendo transmitidos a alguien por vez primera. Ni = siquiera los=20 =E2=80=9Cpadres=E2=80=9D fundadores de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica = moderna como Max Planck, Max Born,=20 Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Erwin Schr=C3=B6dinger, Wolfgang = Pauli, Eugene=20 Wigner y otros empezaron c=C3=B3modamente a partir de un conjunto = b=C3=A1sico de=20 postulados deriv=C3=A1ndolo todo, porque si =C3=A9se hubiera sido el = caso entonces habr=C3=ADa=20 bastado un s=C3=B3lo hombre, un buen matem=C3=A1tico, para obtenerlo = todo a partir de un=20 conjunto de postulados b=C3=A1sicos. Detr=C3=A1s de la = sofisticaci=C3=B3n matem=C3=A1tica que vemos=20 hoy en d=C3=ADa se encierra el hecho de que en sus inicios los = constructores de la=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica recurrieron mucho a su intuici=C3=B3n = gui=C3=A1ndose en todo momento por=20 los resultados experimentales que se estaban obteniendo en los = laboratorios=20 alrededor del mundo, e inclusive tuvieron numerosos fracasos y = decepciones antes=20 de que el =E2=80=9Cgran panorama=E2=80=9D se fuera ensamblando poco a = poco a partir de las=20 piezas del rompecabezas y que esta rama cient=C3=ADfica tomara la forma = que tiene=20 actualmente. El mismo Max=20 Planck reconoci=C3=B3 en su momento que lleg=C3=B3 a su famosa = f=C3=B3rmula:

para la explicaci=C3=B3n de la radiaci=C3=B3n = t=C3=A9rmica del cuerpo=20 negro como un acto final de desesperaci=C3=B3n antes del cual hab=C3=ADa = agotado ya=20 pr=C3=A1cticamente todas las posibilidades cl=C3=A1sicas para la = explicaci=C3=B3n del fen=C3=B3meno,=20 cuando dijo en 1901: =E2=80=9C... todo el proceso fue un acto de = desesperaci=C3=B3n ya que=20 ten=C3=ADa que encontrarse una interpretaci=C3=B3n te=C3=B3rica a = cualquier precio, sin=20 importar lo elevada que pudiera ser...=E2=80=9D. El precio que se tuvo = que pagar fu=C3=A9 el=20 tener que aceptar que la Naturaleza, a nivel sub-at=C3=B3mico, se mueve = en =E2=80=9Cbrincos=E2=80=9D=20 en lugar de hacerlo en la forma suave y continua a la que estaban = acostumbrados=20 los f=C3=ADsicos cl=C3=A1sicos. Vale la pena reproducir aqu=C3=AD sus = propias palabras en su=20 discurso pronunciado el 2 de junio de 1920 con motivo del Premio = N=C3=B3bel que muy=20 merecidamente le fu=C3=A9 otorgado:

Durante muchos a=C3=B1os, [mi meta] fue resolver el problema = de la=20 distribuci=C3=B3n de energ=C3=ADa en el espectro normal del calor = irradiado. Despu=C3=A9s de=20 que Gustav=20 Kirchhoff hubiese demostrado que el estado de la radiaci=C3=B3n de = calor que=20 tiene lugar en una cavidad delimitada por cualquier material emisor y=20 absorbente a una temperatura uniforme es totalmente independiente de = la=20 naturaleza del material, se demostr=C3=B3 una funci=C3=B3n universal = que era dependiente=20 s=C3=B3lo de la temperatura y la longitud de onda, pero de ning=C3=BAn = modo de las=20 propiedades del material. El descubrimiento de esta destacable = funci=C3=B3n=20 promet=C3=ADa una visi=C3=B3n m=C3=A1s profunda de la conexi=C3=B3n = entre la energ=C3=ADa y la=20 temperatura que es, de hecho, el problema principal en la = termodin=C3=A1mica y por=20 tanto en toda la f=C3=ADsica molecular. ...

En esa =C3=A9poca = mantuve lo que hoy=20 ser=C3=ADan consideradas ingenuamente inocentes y asumibles = esperanzas, de que las=20 leyes de la electrodin=C3=A1mica cl=C3=A1sica nos permitir=C3=ADan, si = se abordaran de una=20 forma suficientemente general evitando hip=C3=B3tesis especiales, = comprender la=20 parte m=C3=A1s significativa del proceso que esperar=C3=ADamos, y por = tanto lograr la=20 meta deseada. ...

[Varios m=C3=A9todos diferentes] mostraron = m=C3=A1s y m=C3=A1s=20 claramente que un importante elemento de conexi=C3=B3n o t=C3=A9rmino, = esencial para=20 llegar a la base del problema, ten=C3=ADa que estar perdido. = ...

Estuve=20 ocupado... desde el d=C3=ADa en que yo [establec=C3=AD una nueva = f=C3=B3rmula para la=20 radiaci=C3=B3n], con la tarea de encontrar una interpretaci=C3=B3n = f=C3=ADsica real de la=20 f=C3=B3rmula, y este problema me llev=C3=B3 autom=C3=A1ticamente a = considerar la conexi=C3=B3n=20 entre la entrop=C3=ADa y la probabilidad, es decir, el tren de ideas = de Boltzmann;=20 posteriormente tras varias semanas del m=C3=A1s duro trabajo de mi = vida, la luz=20 penetr=C3=B3 la oscuridad, y una nueva perspectiva inconcebible se = abri=C3=B3 ante mi.=20 ...

Debido a que [una constante en la ley de la radiaci=C3=B3n] = representa=20 el producto de la energ=C3=ADa y el tiempo ... la describ=C3=AD como = el cuanto elemental=20 de acci=C3=B3n. ... Mientras que fuera mirado como infinitamente = peque=C3=B1o ... todo=20 estaba correcto; pero en el caso general, sin embargo, un hueco se = abr=C3=ADa en un=20 lugar o en otro, que se convert=C3=ADa en m=C3=A1s importante cuanto = m=C3=A1s d=C3=A9biles y=20 r=C3=A1pidas se considerasen las vibraciones. Todos esos esfuerzos en = salvar las=20 distancias se derrumbaron pronto dejando poco lugar a dudas. O bien el = cuanto=20 de acci=C3=B3n era una cantidad funcional, con lo que toda la = deducci=C3=B3n de la ley=20 de la radiaci=C3=B3n era esencialmente una ilusi=C3=B3n que = representaba s=C3=B3lo un papel=20 vac=C3=ADo sobre f=C3=B3rmulas sin significado, o bien la = derivaci=C3=B3n de la ley de la=20 radiaci=C3=B3n deb=C3=ADa jugar un papel fundamental en la = f=C3=ADsica, y aqu=C3=AD hab=C3=ADa algo=20 completamente nuevo, nunca o=C3=ADdo con anterioridad, que = parec=C3=ADa requerir que=20 revis=C3=A1ramos b=C3=A1sicamente todo nuestro pensamiento = f=C3=ADsico, construido como lo=20 estaba, a partir del tiempo del establecimiento del c=C3=A1lculo = infinitesimal=20 porLeibniz y Newton, sobre la aceptaci=C3=B3n de la continuidad de = todas las=20 conexiones causativas. La experimentaci=C3=B3n decidi=C3=B3 que era la = segunda=20 alternativa.

Estas palabras nos vienen del gran = maestro que=20 desde los inicios del siglo XX le fij=C3=B3 a los cient=C3=ADficos de su = tiempo la ruta a=20 seguir para poder explicar lo que ocurre en el mundo sub-at=C3=B3mico, y = ciertamente=20 no son las palabras de alguien que sentado c=C3=B3modamente en un = div=C3=A1n haya ido=20 deduciendo axiom=C3=A1ticamente una tras otra las leyes de la naturaleza = del =C3=A1tomo a=20 partir de un conjunto de postulados que le hayan sido proporcionados por = alguien=20 m=C3=A1s sabio que =C3=A9l o por alg=C3=BAn extraterrestre. Los = postulados existen, claro est=C3=A1.=20 El problema es dar con ellos, y en el camino para dar con ellos se van = adoptando=20 nuevas ideas y actitudes filos=C3=B3ficas cruciales para el = entendimiento total de lo=20 que est=C3=A1 ocurriendo, actitudes e ideas que se pueden perder una vez = que los=20 postulados est=C3=A1n ya identificados reduciendo la labor posterior a = una mera=20 aplicaci=C3=B3n de las leyes de la l=C3=B3gica. Si lo que buscamos es un = tratado formal de=20 la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica con el rigorismo propio de los = profesionales haciendo a un=20 lado las ideas intuitivas que estuvieron detr=C3=A1s del desarrollo de = la misma,=20 entonces podemos recurrir a la lectura de un libro como el Mathematische Grundlagen der = Quantenmechanik=20 del formidable matem=C3=A1tico h=C3=BAngaro Johann von = Neumann,=20 pero lo m=C3=A1s seguro es que un principiante tendr=C3=A1 dificultades = al no tener ni=20 siquiera la m=C3=A1s remota idea de c=C3=B3mo las fundamentaciones = matem=C3=A1ticas de la=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica se fueron dando, sobre todo si el = principiante es un=20 autodidacta que no cuenta con un buen maestro a la mano para aclararle = todas sus=20 dudas.

Tal vez en un principio la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica = pueda parecerle a=20 algunos una rama cient=C3=ADfica demasiado abstracta con pocas = aplicaciones. Sin=20 embargo, a ella le debemos muchas de las maravillas tecnol=C3=B3gicas = que disfrutamos=20 hoy en d=C3=ADa, tr=C3=A1tese de los semiconductores que hacen posible = las computadoras=20 personales en casa y los tel=C3=A9fonos celulares, tr=C3=A1tese de los = rayos l=C3=A1ser que=20 sirven para todo desde la correcci=C3=B3n de los defectos de la vista = hasta las=20 investigaciones astron=C3=B3micas, tr=C3=A1tese de la microscop=C3=ADa = electr=C3=B3nica, tr=C3=A1tese de=20 sus aplicaciones a la qu=C3=ADmica y a la nanotecnolog=C3=ADa, en fin, = las posibilidades=20 son virtualmente ilimitadas. Existen indudablemente ramas del = conocimiento=20 humano tales como la Teor=C3=ADa de = los=20 N=C3=BAmeros (rama de las matem=C3=A1ticas puras que estudia las = propiedades de los=20 n=C3=BAmeros, en particular los enteros) en las que se manejan temas de = inter=C3=A9s como=20 la demostraci=C3=B3n del =E2=80=9CUltimo Teorema de Fermat=E2=80=9D = (lograda por Andrew Wiles en=20 1993) cuyo objetivo desde el principio no son las aplicaciones = pr=C3=A1cticas que=20 puedan tener sino la b=C3=BAsqueda del conocimiento por el conocimiento = mismo, y de=20 hecho as=C3=AD comenz=C3=B3 la misma Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica. Sin = embargo, gran parte del=20 inter=C3=A9s actual por esta disciplina radica precisamente en las = aplicaciones=20 pr=C3=A1cticas que puedan tener los resultados que de ella se obtengan, = y ello abarca=20 a las mismas herramientas matem=C3=A1ticas usadas para darle sustento = te=C3=B3rico. Aqu=C3=AD=20 parafrasearemos a Richard Askey, autor del libro Orthogonal = polynomials and=20 special functions, cuando dijo algo que asustar=C3=ADa a los = matem=C3=A1ticos puros=20 que persiguen el estudio de dicha disciplina sin tener aplicaci=C3=B3n = alguna en=20 mente: =E2=80=9CUno estudia las funciones especiales no por lo que son = en s=C3=AD, sino por=20 las aplicaciones que puedan tener=E2=80=9D. La teor=C3=ADa detr=C3=A1s = de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica es=20 interesante en s=C3=AD, pero hoy en d=C3=ADa esperamos y ambicionamos = extraerle jugo a las=20 ideas y posibilidades que podamos obtener de ella, y hasta ahora no nos = ha=20 fallado.

Aunque la notaci=C3=B3n matem=C3=A1tica requerida en = ocasiones nos pueda=20 parecer intimidante, no hay aqu=C3=AD intenci=C3=B3n alguna de adoptar = una actitud pedante=20 dando por conocidas cosas y temas que posiblemente nunca fueron tratados = en=20 cursos m=C3=A1s elementales en donde debieron de haber sido tratados. Si = en la=20 discusi=C3=B3n de alg=C3=BAn tema se han dejado puntos obscuros que = deber=C3=ADan de ser=20 aclarados, o si hay pasos intermedios faltantes que resultan ser = necesarios para=20 la comprensi=C3=B3n de algo, el autor pide mil disculpas de antemano, y = solicita la=20 ayuda de sus lectores para aplicar las revisiones y correctivos que se=20 requieran.

Para la soluci=C3=B3n de los problemas num=C3=A9ricos, = se ha utilizado=20 en forma aleatoria tanto el sistema de unidades metro-kilogramo-segundo = MKS-SI=20 (Syst=C3=A8me International) = como el sistema=20 de unidades cent=C3=ADmetro-gramo-segundo cgs-Gaussiano, porque se = considera=20 importante el estar familiarizado en la actualidad con ambos sistemas de = unidades al haber mucha literatura t=C3=A9cnica y cient=C3=ADfica que = utiliza tanto uno=20 como el otro. Desafortunadamente, cuando se d=C3=A1 preferencia a un = sistema de=20 unidades sobre otro en las escuelas, se est=C3=A1 promoviendo una forma = disfrazada de=20 analfabetismo que puede ser fuente de confusiones y equivocaciones tarde = o=20 temprano.

Desafortunadamente, un concepto ampliamente extendido = acerca de=20 la f=C3=ADsica cu=C3=A1ntica es el concepto err=C3=B3neo de que la = f=C3=ADsica de las part=C3=ADculas=20 sub-microsc=C3=B3picas es una materia sumamente especializada que = requiere cada vez=20 con mayor frecuencia de experimentos extraordinariamente costosos como = es el=20 caso del Gran Colisionador de Hadrones para el cual se tuvieron que = juntar los=20 recursos monetarios combinados de varios pa=C3=ADses europeos y cuyos = resultados no=20 se espera que tengan una aplicaci=C3=B3n inmediata en la vida cotidiana. = Sin embargo,=20 este concepto est=C3=A1 fuera de la realidad. Adem=C3=A1s de las vastas = aplicaciones que=20 ha encontrado la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica en el desarrollo de = semiconductores y l=C3=A1sers=20 que han hecho posible mil maravillas, hay otras ciencias que no pueden=20 prescindir ya de las herramientas que proporciona la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica,=20 destacando entre ellas la qu=C3=ADmica. Todo lo que tiene que ver con el = enlace=20 qu=C3=ADmico est=C3=A1 basado en las teor=C3=ADas de los orbitales = at=C3=B3micos y moleculares=20 fundamentados sobre las nubes de probabilidad que se manejan en la = Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica. En este sentido, los qu=C3=ADmicos resultaron ser = m=C3=A1s listos que los=20 f=C3=ADsicos al apropiarse de una buena parte de la Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica para=20 desarrollar su =C3=A1rea dej=C3=A1ndole a los f=C3=ADsicos las migajas a = las que ahora est=C3=A1n=20 confinados en buena medida. De este modo, la teor=C3=ADa del campo = cristalino, la=20 cual debi=C3=B3 de haber sido desarrollada en su totalidad por = f=C3=ADsicos, fue quedando=20 en manos de qu=C3=ADmicos. al igual que otras =C3=A1reas como la = f=C3=ADsica de los=20 semiconductores que fue quedando en manos de los ingenieros = electr=C3=B3nicos. De=20 cualquier modo, los avances cient=C3=ADficos y tecnol=C3=B3gicos, vengan = de donde vengan,=20 apoyan el argumento de que la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica es mucho mucho = m=C3=A1s omnipresente=20 de lo que mucha gente supone. De este modo, la a=C3=B1eja aserci=C3=B3n = atribuida al=20 destacado f=C3=ADsico-qu=C3=ADmico Svante = Arrhenius=20 de que =E2=80=9Cun qu=C3=ADmico que no es f=C3=ADsico no es = nada=E2=80=9D, hoy muy bien pudiera leerse=20 como =E2=80=9Cun qu=C3=ADmico que no sabe nada de Mec=C3=A1nica = Cu=C3=A1ntica no sabe=20 nada=E2=80=9D.

Como el lector pronto lo descubrir=C3=A1, esta = obra tiene una clara=20 intenci=C3=B3n de cerrar una brecha frecuentemente encontrada en las = instituciones de=20 ense=C3=B1anza superior en donde muchos estudiantes se quejan de que le = entienden muy=20 poco o posiblemente nada al maestro de la materia pese a que =C3=A9ste = es un=20 especialista reconocido en su materia con una vasta cantidad de = conocimientos=20 que supuestamente deber=C3=ADan de garantizarle al alumno la mejor = ense=C3=B1anza posible.=20 Y en esto =C3=BAltimo es precisamente en donde radica el problema. = Podemos equiparar=20 el aprendizaje de una nueva rama cient=C3=ADfica al aprendizaje de un = idioma=20 extranjero. Al principio hasta las frases m=C3=A1s sencillas de la = lengua extranjera=20 se dificultan. Sin embargo, conforme se avanza en el aprendizaje del = nuevo=20 idioma y sus s=C3=ADmbolos, conforme se va adquiriendo fluidez, se van = olvidando poco=20 a poco las =C3=A1reas en donde se tuvo la mayor dificultad. Es as=C3=AD = como el=20 especialista con una vasta cantidad de conocimientos, al que todo se le = hace ya=20 f=C3=A1cil a base de la repetici=C3=B3n constante de los mismos = materiales en su c=C3=A1tedra=20 como maestro as=C3=AD como la lectura constante en las publicaciones = cient=C3=ADficas=20 especializadas de temas relacionados con su materia, incapaz de recordar = por m=C3=A1s=20 que quiera qu=C3=A9 fue aquello en lo que tuvo dificultad, le puede = parecer=20 incomprensible que cosas que hoy se le hacen muy sencillas puedan ser = material=20 que cause gran confusi=C3=B3n en los neofitos. Al franc=C3=A9s o al = canadiense nativo que=20 sabe hablar el chino a la perfecci=C3=B3n despu=C3=A9s de muchos = a=C3=B1os de pr=C3=A1ctica y=20 estudio le puede parecer tedioso el tener que batallar con alumnos que = ni=20 siquiera saben o pueden darle los buenos d=C3=ADas en chino, sin captar = bien el hecho=20 de que =C3=A9l y sus alumnos est=C3=A1n hablando en idiomas totalmente = diferentes.=20 Lamentablemente, esto implica que el saber mucho no es garant=C3=ADa en = lo absoluto=20 de que se podr=C3=A1 ser un buen profesor, y por el contrario esto puede = actuar como=20 un obst=C3=A1culo en la misi=C3=B3n. Esta es la raz=C3=B3n del por = qu=C3=A9 en esta obra se muestran=20 pasos de razonamiento, e inclusive pasos de =C3=A1lgebra, que son = frecuentemente=20 omitidos en muchos libros de texto.

El enfoque moderno de la = Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica hace uso extenso de la notaci=C3=B3n bra-ket = introducida por el=20 f=C3=ADsico brit=C3=A1nico Paul Adrien=20 Maurice Dirac. Sin embargo, a=C3=BAn hay mucha literatura, trabajos = y textos que=20 prescinden por completo de la notaci=C3=B3n bra-ket, enfatizando con = ello el enfoque=20 tradicional que se le daba a la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica antes de la = introducci=C3=B3n de=20 dicha notaci=C3=B3n. Puesto que es deseable e importante que los = estudiosos de la=20 Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica est=C3=A9n familiarizados con ambos tipos de = notaciones, en esta=20 obra se han entremezclado ambos simbolismos con la finalidad de obtener = un=20 dominio sobre ambos =E2=80=9Clenguajes=E2=80=9D.

Aunque una = lectura somera de los=20 primeros materiales puede causar la impresi=C3=B3n de que la = Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica trata=20 =C3=BAnicamente acerca de los mismos cuatro problemas (el = oscilador arm=C3=B3nico=20 simple, la part=C3=ADcula encerrada en una caja unidimensional, el = =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno=20 y la part=C3=ADcula libre) vistos de muchas maneras diferentes, esta es = una=20 apreciaci=C3=B3n err=C3=B3nea. Si bien es cierto que parece d=C3=A1rsele = una insistencia=20 exagerada a estos cuatro temas al grado de parecer machaconer=C3=ADa, = ello se debe a=20 que se trata de t=C3=B3picos que se prestan a un an=C3=A1lisis = simplificado que muchas=20 veces produce soluciones exactas, anal=C3=ADticas. Por regla general, la = Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica en el mundo real requiere de aproximaciones = matem=C3=A1ticas que inclusive=20 para las supercomputadoras modernas puede representar un trabajo pesado. = Si al=20 peso matem=C3=A1tico te=C3=B3rico le sumamos una comprensi=C3=B3n pobre = de los fundamentos=20 f=C3=ADsicos, tenemos la receta que le ha dado injustificadamente a la = Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica una mala fama como una materia cuya comprensi=C3=B3n = est=C3=A1 al alcance s=C3=B3lo de=20 unos cuantos seres privilegiados.

Aunque en varias entradas de = este=20 trabajo hay material especializado que requiere para su comprensi=C3=B3n = de=20 conocimientos matem=C3=A1ticos que en algunos casos s=C3=B3lo est=C3=A1n = disponibles a nivel=20 universitario, ello no debe ser motivo para que el lector se intimide y = no eche=20 por lo menos un vistazo al resto de un tema tratado para darse una idea = de lo=20 que se est=C3=A1 discutiendo. Se ha hecho un esfuerzo para poner en cada = parte algo=20 para todos, de modo tal que si algo no parece muy claro es muy posible = que de=20 cualquier manera si se contin=C3=BAa habr=C3=A1 algo que estar=C3=A1 = accesible. Se puede dejar=20 el material m=C3=A1s pesado para una lectura posterior o para ser = aclarado con la=20 ayuda de un estudiante o de un maestro familiarizado con el = tema.

Para=20 estar al tanto de los avances m=C3=A1s recientes en torno a esta = =C3=A1rea importante del=20 conocimiento humano, es recomendable consultar con relativa frecuencia = no s=C3=B3lo=20 las bibliotecas locales (las cuales con la excepci=C3=B3n de las = bibliotecas de las=20 grandes ciudades en su mayor=C3=ADa no contienen todos los libros que el = lector=20 desear=C3=ADa consultar) sino tambi=C3=A9n los sitios de Internet que = est=C3=A1n volviendo=20 r=C3=A1pidamente obsoletas a las bibliotecas locales y a la lectura = impresa. La=20 lectura de esta obra puede ser combinada con un enlace tal como el de la = American Physical Society en http://physics.aps.org/.

Como= =20 corresponde a una obra de esta extensi=C3=B3n, se ha suministrado al = final de la=20 misma una Bibliograf=C3=ADa que incluye textos que van desde los = m=C3=A1s elementales=20 hasta los que suelen considerarse m=C3=A1s avanzados. Tambi=C3=A9n = dentro de la=20 Bibliograf=C3=ADa, y reflejando el impacto que est=C3=A1 teniendo la = enciclopedia=20 universal virtual Wikipedia = como vasto=20 repositorio de informaci=C3=B3n suministrando una cantidad creciente de = conocimientos=20 en todas las =C3=A1reas del saber humano, accesibles gratuitamente y en = forma=20 instant=C3=A1nea a todas horas del d=C3=ADa, se han inclu=C3=ADdo = hiperv=C3=ADnculos que conducen a=20 los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los = materiales=20 condensados en esta obra, d=C3=A1ndoles rostro y biograf=C3=ADas a los = pioneros que a=20 principios del siglo XX llevaron a cabo los descubrimientos que sentaron = las=20 bases de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica. La Wikipedia tiene otra ventaja = adicional que la=20 pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. =C2=BFEn cuantas = ocasiones el lector=20 no se lleg=C3=B3 a encontrar con la desagradable sorpresa de que = despu=C3=A9s de encontrar=20 un enlace interesante regres=C3=B3 tiempo despu=C3=A9s solo para = descubrir que dicho=20 enlace ya no exist=C3=ADa y que posiblemente hasta el sitio en el que se = encontraba=20 alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la = informaci=C3=B3n=20 junto con todas las im=C3=A1genes? Esta es la principal raz=C3=B3n por = la cual me he=20 abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duraci=C3=B3n a largo plazo = no est=C3=A9=20 garantizada.

Para aquellos estudiantes de grados = pre-universitarios,=20 desde los estudiantes de las escuelas primarias hasta los estudiantes de = bachillerato pasando por los de las escuelas secundarias que no cuentan = a=C3=BAn con=20 los conocimientos necesarios de =C3=A1lgebra, trigonometr=C3=ADa y = c=C3=A1lculo infinitesimal=20 para poder entender en su totalidad lo que aqu=C3=AD se expone (de = cualquier manera,=20 habr=C3=A1 una buena cantidad de material que s=C3=AD podr=C3=A1n = entender gracias a los apoyos=20 visuales que han sido inclu=C3=ADdos), esta obra les podr=C3=A1 ayudar = para hacerles mucho=20 m=C3=A1s aceptable los trabajos y sufrimientos que tengan que enfrentar = para poder=20 aprender esas materias, porque una de las cosas que muchos estudiantes = enfrentan=20 cuando son expuestos por vez primera a ramas de las matem=C3=A1ticas = como el =C3=A1lgebra=20 y la trigonometr=C3=ADa es la pregunta t=C3=ADpica: =C2=BFy para = qu=C3=A9 me va a servir todo esto?=20 En esta obra encontrar=C3=A1n la respuesta a esta pregunta, porque es = precisamente=20 para cosas como la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica (que a su vez es la base = de la F=C3=ADsica y la=20 Qu=C3=ADmica contempor=C3=A1neas) que se requiere el conocimiento de = tales materias=20 ense=C3=B1adas en los grados escolares pre-universitarios. La = microelectr=C3=B3nica que ha=20 hecho posible muchas de las maravillas del mundo moderno, especialmente = las=20 computadoras e Internet, as=C3=AD como los rayos l=C3=A1ser que han = hecho posible los=20 discos compactos CD y DVD, funciona a niveles sub-microsc=C3=B3picos = regidos por las=20 leyes naturales que aqu=C3=AD se estudian. Y el campo cient=C3=ADfico = relativamente nuevo=20 conocido como la nanotecnolog=C3=ADa apenas=20 est=C3=A1 empezando a despegar. En estos momentos, las posibilidades son = virtualmente=20 ilimitadas. Los pa=C3=ADses que van a la vanguardia en el desarrollo de = las nuevas=20 tecnolog=C3=ADas que est=C3=A1n llevando a la especie humana hacia su = siguiente grado de=20 evoluci=C3=B3n son pa=C3=ADses que han dedicado una inversi=C3=B3n = econ=C3=B3mica extraordinaria=20 para la ense=C3=B1anza y el desarrollo as=C3=AD como la aplicaci=C3=B3n = pr=C3=A1ctica de todo lo que=20 tenga que ver con la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica. Los pa=C3=ADses que no = lo han hecho o que no=20 lo han hecho con la importancia y premura requeridas son pa=C3=ADses que = se est=C3=A1n=20 quedando rezagados conden=C3=A1ndose a s=C3=AD mismos a un estancamiento = econ=C3=B3mico, o lo=20 que es peor, a una mera subsistencia basada en la simple = explotaci=C3=B3n y=20 exportaci=C3=B3n de las materias primas con las que cuenten, si es que = cuentan con=20 materias primas que puedan explotar y exportar.

En esta obra, = salvo=20 algunas excepciones aisladas, se han evitado al m=C3=A1ximo las = referencias a=20 documentos t=C3=A9cnicos y cient=C3=ADficos en Internet que han sido = puestos en sitios=20 tales como SpringerLink en = virtud de que=20 estos sitios no s=C3=B3lo no hacen accesibles los documentos que = archivan de manera=20 gratuita, sino que por cada documento que consta de unas diez o quince = p=C3=A1ginas=20 hacen un cobro entre 30 y 40 d=C3=B3lares por documento, lo cual = significa que para=20 consultar apenas unos diez documentos en un sitio como estos el lector = tiene que=20 estar preparado para erogar unos 300 =C3=B3 400 d=C3=B3lares, lo cual va = totalmente en=20 contra del esp=C3=ADritu de Internet de que la informaci=C3=B3n pueda = flu=C3=ADr libremente=20 alrededor del mundo al menor costo posible de un lado a otro. Tal vez = los=20 autores que colocan sus trabajos en estos sitios de acceso caro no se = dan cuenta=20 de que ellos mismos se est=C3=A1n limitando severamente el universo de = sus posibles=20 lectores, sobre todo en pa=C3=ADses en los que no se cuenta con las = amplias=20 cantidades de dinero que se requieren para poder accesar los documentos = que=20 ellos elaboran. El cobro exagerado para poder descargar y leer un = documento que=20 consta de tan s=C3=B3lo diez o quince p=C3=A1ginas no est=C3=A1 = justificado a menos de que se=20 trate de un documento realmente extraordinario, excepcional, como los = papeles=20 originales de Erwin Schrodinger, Albert Einstein y Max Born, y esos = papeles se=20 pueden obtener gratuitamente de varios sitios de Internet, puestos a = disposici=C3=B3n=20 del p=C3=BAblico internauta general mundial por instituciones = acad=C3=A9micas de prestigio=20 que laboran sin fines de lucro, a diferencia de los sitios que cobran = entre 30 y=20 40 d=C3=B3lares por descargar de ellos algo que consta de unas cuantas=20 p=C3=A1ginas.

Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de = Wikipedia, este=20 trabajo es una peque=C3=B1a contribuci=C3=B3n al ambicioso objetivo de = un mundo en el que todas las personas y = cualquier=20 persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la=20 humanidad.

Al igual que en la obra La Teor=C3=ADa de la Relatividad, = agradezco a Roger=20 Cortesi la disponibilidad de su editor de ecuaciones en la = tipograf=C3=ADa LaTeX, lo cual me ha permitido = avanzar con=20 mucha mayor rapidez de lo que de otra manera me hubiera sido posible. = Expreso=20 asimismo mi agradecimiento a la empresa gickr.com por la generosa = disponibilidad de su constructor online de graficos animados que = permiti=C3=B3=20 la construcci=C3=B3n de varias de las animaciones que aparecen en esta = obra=20 permiti=C3=A9ndole aumentar su valor did=C3=A1ctico.

Se puede = esperar, en una obra=20 de esta extensi=C3=B3n, que inevitablemente har=C3=A1n su aparici=C3=B3n = equivocaciones,=20 errores tipogr=C3=A1ficos y errores de tipo num=C3=A9rico que el autor = habr=C3=A1 pasado por=20 alto. El autor agradece de antemano todos los se=C3=B1alamientos que se = le hagan al=20 respecto, lo cual ayudar=C3=A1 a mejorar los materiales para quienes = tengan necesidad=20 o inter=C3=A9s de consultarlos en un futuro.=20

El=20 modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr I

Ya desde=20 los tiempos de la Antigua Grecia, Dem=C3=B3crito= de Abdera, m=C3=A1s por=20 razones de =C3=ADndole filos=C3=B3fica que de =C3=ADndole = cient=C3=ADfica, hab=C3=ADa postulado la=20 posibilidad de que la materia no era infinitamente continua, esto es, no = pod=C3=ADa=20 continuarse subdividiendo hasta el infinito, y que eventualmente = llegar=C3=ADamos=20 hasta cierto punto en el cual no nos ser=C3=ADa posible continuar = sub-dividiendo la=20 materia con un cuchillo por filoso que fuera. A las part=C3=ADculas = incapaces de ser=20 subdivididas m=C3=A1s all=C3=A1 de cierto l=C3=ADmite mediante simples = cortes seccionales las=20 llam=C3=B3 =C3=A1tomos, que en = griego significa =E2=80=9Cno=20 susceptible de corte=E2=80=9D (a =3D no, negaci=C3=B3n,=20 tomos =3D corte).

Los = experimentos=20 de Lord = Ernest=20 Rutherford apoyados con argumentos elementales de bal=C3=ADstica = demostraron en=20 forma concluyente que la materia no es tan absolutamente s=C3=B3lida = como se cre=C3=ADa, y=20 de hecho que la materia en su mayor parte es fantasmal, con un = n=C3=BAcleo en el que=20 se pod=C3=ADa considerar que se albergaba toda la carga el=C3=A9ctrica = positiva (+) del=20 =C3=A1tomo, y part=C3=ADculas mucho m=C3=A1s peque=C3=B1as orbitando en = torno al n=C3=BAcleo en una forma=20 muy parecida a como lo hacen los planetas en torno al Sol, = part=C3=ADculas de carga=20 negativa (-) a la cual se deben los fen=C3=B3menos de naturaleza = el=C3=A9ctrica, los electrones. La carga positiva = situada en el=20 centro del =C3=A1tomo explicaba la estabilidad de la materia en el = espacio mientras=20 que los electrones orbitando libremente en torno al =C3=A1tomo = explicaban la=20 disponibilidad de los mismos para ser removidos de un =C3=A1tomo a otro = haciendo=20 posible la corriente el=C3=A9ctrica. Fue as=C3=AD como se lleg=C3=B3 al = modelo planetario de = Rutherford:

El modelo planetario de Rutherford no = especificaba ni=20 las velocidades de los electrones en torno al n=C3=BAcleo ni las = distancias a las=20 cuales se pudieran encontrar los electrones del n=C3=BAcleo = at=C3=B3mico. Se trataba=20 simplemente de un concepto, de una idea. Esta idea ser=C3=ADa tomada = posteriormente=20 por un f=C3=ADsico dan=C3=A9s, Niels=20 B=C3=B6hr, para explicar los fen=C3=B3menos relacionados con las = l=C3=ADneas espectrales de los = elementos de lo cual=20 hablaremos a continuaci=C3=B3n.

Casi todos estamos familiarizados = de alguna=20 manera con el efecto de los prismas de vidrio con los cuales se logra=20 descomponer a la luz blanca en sus constituyentes = esenciales:

Cuando despu=C3=A9s de una lluvia intensa = vemos un arco=20 iris, dicho arco iris es producido por las gotitas de lluvia en la = lejan=C3=ADa que=20 actuando como prismas peque=C3=B1os nos mandan a la luz solar = descompuesta en su=20 espectro de colores.

Si hacemos pasar la luz del Sol o la luz de = un foco=20 el=C3=A9ctrico a trav=C3=A9s de un prisma, o mejor a=C3=BAn, a = trav=C3=A9s de un espectroscopio,=20 veremos un espectro continuo como el siguiente:

Sin embargo, si entre la fuente luminosa y = nosotros=20 interponemos un gas fr=C3=ADo, encontraremos unas l=C3=ADneas ausentes, = t=C3=ADpicas de un=20 espectro de = absorci=C3=B3n:

Y si lo que hacemos es meter un gas dentro de = en un=20 recipiente calent=C3=A1ndolo a una temperatura elevada, o mejor = a=C3=BAn, someti=C3=A9ndolo a=20 descargas el=C3=A9ctricas de alta energ=C3=ADa, obtendremos un espectro de emisi=C3=B3n como el = siguiente:

En 1885 un maestro suizo, Johann = Balmer,=20 encontr=C3=B3 que las l=C3=ADneas en el espectro del hidr=C3=B3geno = pod=C3=ADan ser representadas=20 mediante la siguiente f=C3=B3rmula:

en donde:

b =3D 3645.6=C2=B710^-8 = cent=C3=ADmetro =3D 3645.6=20 Angstroms =3D 3645.6 =C3=85

m =3D 3, 4, 5, ...

y tras = esto procedi=C3=B3 a=20 sugerir que esto pudiera tratarse de un caso especial de la = expresi=C3=B3n:

en donde tanto m como n son enteros.

A = fines del=20 siglo XIX, se hab=C3=ADan realizado muchos trabajos experimentales sobre = el an=C3=A1lisis=20 del espectro discreto de la radiaci=C3=B3n emitida al producirse = descargas el=C3=A9ctricas=20 en los gases. Puesto que de todos los =C3=A1tomos el m=C3=A1s liviano y = el m=C3=A1s sencillo es=20 el del hidr=C3=B3geno compuesto por un n=C3=BAcleo y un electr=C3=B3n, = no result=C3=B3 ninguna=20 sorpresa en aqu=C3=A9l entonces la demostraci=C3=B3n, mediante medidas = espectrosc=C3=B3picas=20 cada vez m=C3=A1s exactas, seg=C3=BAn la cual el hidr=C3=B3geno = presentaba el espectro m=C3=A1s=20 simple entre todos los elementos. Se encontr=C3=B3 que las diferentes = l=C3=ADneas en las=20 regiones visibles y no visibles estaban distribu=C3=ADdas = sistem=C3=A1ticamente en varias=20 series. En forma asombrosa se encontr=C3=B3 que todas las longitudes de = onda del=20 =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno se obtienen mediante una relaci=C3=B3n = emp=C3=ADrica sencilla, conocida=20 como la f=C3=B3rmula de = Rydberg:

en la cual R es una constante conocida como la = constante de Rydberg (en honor al = f=C3=ADsico sueco=20 Johannes = Rydberg)=20 cuyo valor sobre unidades Angstrom para el =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno = es:

R =3D 1.0967758=C2=B710^-3 = /=C3=85

en=20 donde:

___n_a =3D 1 = y=20 n_b =3D 2, 3, 4, ... d=C3=A1 la serie de=20 Lyman (regi=C3=B3n ultravioleta)

___n_a =3D 2 y n_b =3D = 3, 4, 5, ...=20 d=C3=A1 la serie de Balmer = (regi=C3=B3n=20 visible)

___n_a =3D = 3 y=20 n_b =3D 4, 5, 6, ... d=C3=A1 la serie de=20 Paschen (regi=C3=B3n infrarroja)

___n_a =3D 4 y n_b =3D = 5, 6, 7, ...=20 d=C3=A1 la serie de Brackett = (regi=C3=B3n del=20 infrarrojo lejano)

___n_a =3D 5=20 y n_b =3D 6, 7, 8, ... d=C3=A1 la serie de=20 Pfund (regi=C3=B3n del infrarrojo lejano)

y as=C3=AD = sucesivamente, para=20 otras series que se encuentran a=C3=BAn m=C3=A1s lejos del = infrarrojo.

PROBLEMA: Calcular la longitud de onda m=C3=A1s corta = y la longitud=20 de onda m=C3=A1s larga para la serie de Lyman del = hidr=C3=B3geno.

La=20 longitud de onda en la serie de Lyman se obtiene haciendo n_a = =3D 1 en=20 la f=C3=B3rmula de Rydberg:

1/=CE=BB =3D = (1.097=C2=B710^-3 /=C3=85) [(1/1=C2=B2) -=20 (1/n_b=C2=B2)]

La m=C3=A1xima longitud de onda = corresponde a=20 n_b =3D 2:

1/=CE=BB_max =3D = (1.097=C2=B710^-3 /=C3=85)=20 [(1/1=C2=B2) - (1/2=C2=B2)]

=CE=BB_max =3D 1215 = =C3=85

Y la m=C3=ADnima longitud=20 de onda corresponde a n_b =3D =E2=88=9E:

1/=CE=BB_min =3D = (1.097=C2=B710^-3 /=C3=85)=20 [(1/1=C2=B2) - (1/=E2=88=9E)]

=CE=BB_min =3D 912 = =C3=85

Cada elemento tiene su=20 propia serie de l=C3=ADneas espectrales caracter=C3=ADsticas, lo cual = equivale a decir que=20 cada elemento tiene su propia constante de Rydberg. No hay dos elementos = con las=20 mismas l=C3=ADneas espectrales, del mismo modo que no hay dos personas = distintas que=20 posean exactamente el mismo ADN o las mismas huellas digitales, lo cual = permite=20 utilizar a la espectroscop=C3=ADa como m=C3=A9todo de an=C3=A1lisis para = la identificaci=C3=B3n de=20 los elementos que forman parte de una muestra de material. Si tenemos a = la mano=20 un =E2=80=9Ccat=C3=A1logo=E2=80=9D con los espectros = caracter=C3=ADsticos de cada uno de los elementos,=20 podemos identificar sin mayores problemas los elementos que hay dentro = de una=20 muestra de material. A continuaci=C3=B3n tenemos los espectros de siete = muestras=20 distintas de materiales:

De este modo, la constante de Rydberg no es = exactamente una constante universal, ya que cada uno de los elementos = qu=C3=ADmicos=20 tiene su propia constante de Rydberg. Para todos los =C3=A1tomos = similares al =C3=A1tomo=20 de hidr=C3=B3geno (=C3=A1tomos con un solo electr=C3=B3n en su = =C3=BAltima =C3=B3rbita, los =C3=A1tomos hidrogenoides) la constante de = Rydberg R puede=20 ser derivada de la constante de Rydberg del =E2=80=9Cinfinito=E2=80=9D = R_=E2=88=9E de la=20 siguiente forma:

siendo R la constante de Rydberg para cierto = =C3=A1tomo con un=20 solo electr=C3=B3n, y siendo m_e la masa del electr=C3=B3n y M = la masa del=20 n=C3=BAcleo at=C3=B3mico.

En 1913, ofreciendo una hip=C3=B3tesis = para aclarar el=20 misterio de la f=C3=B3rmula emp=C3=ADrica de Rydberg, Niels Bohr = desarroll=C3=B3 una teor=C3=ADa=20 f=C3=ADsica a partir de la cual se pod=C3=ADa obtener deducir la = f=C3=B3rmula de Rydberg. Al=20 igual que el modelo at=C3=B3mico planetario de Rutherford, el modelo = at=C3=B3mico=20 planetario de Bohr se basa en un sistema planetario en donde un = electr=C3=B3n liviano=20 cargado negativamente gira alrededor de un n=C3=BAcleo pesado cargado = positivamente.=20 Pero a diferencia del modelo at=C3=B3mico planetario de Rutherford, el = modelo at=C3=B3mico=20 planetario de Bohr impon=C3=ADa varios niveles discretos de energ=C3=ADa en los = cuales pod=C3=ADamos=20 encontrar a los electrones en movimiento en torno al n=C3=BAcleo del = =C3=A1tomo, y al=20 imponer tales niveles discretos de energ=C3=ADa los electrones no = pod=C3=ADan estar=20 situados a cualquier distancia arbitraria del n=C3=BAcleo, estas = =E2=80=9Ccapas esf=C3=A9ricas=E2=80=9D=20 quedaban situadas a distancias bien definidas del centro geom=C3=A9trico = del =C3=A1tomo. A=20 la capa m=C3=A1s cercana al n=C3=BAcleo del =C3=A1tomo se le asign=C3=B3 = un n=C3=BAmero cu=C3=A1ntico igual a n = =3D 1, y tras esto la=20 capa inmediata externa tendr=C3=ADa un n=C3=BAmero cu=C3=A1ntico igual a = n =3D 2, y as=C3=AD=20 sucesivamente:

Una vez definidas las capas = energ=C3=A9ticas discretas,=20 Bohr postul=C3=B3 la hip=C3=B3tesis de que un fot=C3=B3n de luz con la = suficiente energ=C3=ADa=20 pudiese hacer =E2=80=9Cbrincar=E2=80=9D un electr=C3=B3n de una capa = inferior a una capa superior=20 (por ejemplo, de n =3D 1 a n=3D 5), absorbiendo el fot=C3=B3n y dejando = con ello un=20 =E2=80=9Chueco=E2=80=9D en el espectro de absorci=C3=B3n. Pero no = s=C3=B3lo era posible que un electr=C3=B3n=20 pudiese saltar de un nivel energ=C3=A9tico inferior a uno superior al = absorber un=20 fot=C3=B3n. Tambi=C3=A9n era posible que saltase de un nivel = energ=C3=A9tico superior a un=20 nivel energ=C3=A9tico inferior emitiendo un=20 fot=C3=B3n cuya energ=C3=ADa deb=C3=ADa ser igual a la diferencia entre = los niveles energ=C3=A9ticos=20 de las capas. Esto pod=C3=ADa explicar los espectros de = emisi=C3=B3n:

El modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr = fue capaz de=20 explicar e inclusive predecir la existencia de otras l=C3=ADneas = espectrales que=20 fueron siendo descubiertas paulatinamente conforme aumentaba la potencia = de la=20 resoluci=C3=B3n de los espectroscopios gracias a t=C3=A9cnicas refinadas = en la manufactura=20 de los mismos:

Tan sencillo como parece, el modelo = at=C3=B3mico=20 planetario de Bohr lleg=C3=B3 a un costo dif=C3=ADcil de aceptar para = quienes estaban=20 acostumbrados a pensar en t=C3=A9rminos de la f=C3=ADsica cl=C3=A1sica. = Para ver el impacto=20 producido por el modelo, consid=C3=A9rese el problema cl=C3=A1sico de = una pelota que es=20 soltada para que vaya rodando sobre un plano inclinado:

Desde la perspectiva de la f=C3=ADsica = cl=C3=A1sica, la pelota va=20 perdiendo gradualmente energ=C3=ADa potencial (en funci=C3=B3n de su = altura) que se va=20 convirtiendo en energ=C3=ADa de movimiento (cin=C3=A9tica). A cada = infinit=C3=A9simo de p=C3=A9rdida=20 en energ=C3=ADa potencial la pelota gana un infinit=C3=A9simo de = energ=C3=ADa cin=C3=A9tica, y la=20 transici=C3=B3n es suave y continua pudiendo aplicarse para el = an=C3=A1lisis del sistema=20 las herramientas del c=C3=A1lculo infinitesimal. En cambio, en el modelo = de Bohr, tal=20 transici=C3=B3n suave y continua no existe, ya que el electr=C3=B3n pasa = de un nivel=20 energ=C3=A9tico a otro a =E2=80=9Csaltos=E2=80=9D como si brincase del = pelda=C3=B1o de una escalera a otro=20 sin posibilidad de que se estabilice en un valor intermedio de=20 energ=C3=ADa:

En el ejemplo mostrado en la figura, el = electr=C3=B3n=20 =E2=80=9Cbrinca=E2=80=9D del nivel n =3D 3 al nivel n =3D 2 produciendo = un fot=C3=B3n de luz roja con una=20 longitud de onda de 656=C2=B710^-9 metros y una energ=C3=ADa = de 1.89 eV=20 (electr=C3=B3n-volts). El por qu=C3=A9 la Naturaleza se mueve a = =E2=80=9Cbrincos=E2=80=9D en el mundo=20 sub-microsc=C3=B3pico en lugar de hacerlo en forma suave y continua es = un asunto=20 filos=C3=B3fico de fondo que atorment=C3=B3 y consumi=C3=B3 al primer = descubridor de la=20 cuantizaci=C3=B3n de la energ=C3=ADa, Max Planck (en cuyo = honor la=20 constante h que rige al mundo=20 sub-microsc=C3=B3pico lleva su nombre), y es un asunto que sigue sin = resolverse pero=20 que es aceptado con cierta resignaci=C3=B3n por las generaciones que han = crecido=20 acostumbradas al hecho sin tener que pasar por el = =E2=80=9Cshock=E2=80=9D por el que tuvieron=20 que pasar los fundadores de la Mec=C3=A1nica Cu=C3=A1ntica que tuvieron = que digerir la=20 dif=C3=ADcil transici=C3=B3n en este modo de pensar.

Puesto que = el di=C3=A1metro de un=20 =C3=A1tomo es de aproximadamente 10^-10 metro mientras que la = carga=20 el=C3=A9ctrica positiva est=C3=A1 concentrada en un n=C3=BAcleo de = aproximadamente=20 10^-14 =C3=B3 10^-15 metro de di=C3=A1metro, el = electr=C3=B3n debe estar=20 relativamente alejado del =C3=A1tomo, al menos en promedio. La fuerza de = atracci=C3=B3n=20 el=C3=A9ctrica que mantiene al electr=C3=B3n en su =C3=B3rbita est=C3=A1 = dada cl=C3=A1sicamente por la=20 ley de Coulomb:

F =3D=20 kq₁q₂/r=C2=B2

siendo k =3D = 1/4=CF=80=CE=B5₀ =3D=20 9=C2=B710⁹ Newton=C2=B7metro=C2=B2/coulomb=C2=B2 en el = sistema de unidades MKS (ISO) y k=3D=20 1 en el sistema de unidades cgs-Gaussiano. Para lograr una estabilidad = mec=C3=A1nica,=20 Bohr supuso que esta fuerza de atracci=C3=B3n el=C3=A9ctrica entre la = carga positiva del=20 n=C3=BAcleo y la carga negativa del electr=C3=B3n era justo lo que se = requer=C3=ADa para poder=20 proporcionar la fuerza centr=C3=ADpeta necesaria para mantener al = electr=C3=B3n en su=20 =C3=B3rbita circular, ya que sin ella el electr=C3=B3n saldr=C3=ADa = disparado de su =C3=B3rbita al=20 igual que como ocurrir=C3=ADa con la Luna de no ser por eso que Newton = bautiz=C3=B3 como=20 la =E2=80=9Cfuerza de la gravedad=E2=80=9D.

Por simplicidad, y no = teniendo evidencias de=20 lo contrario, Bohr supuso que la =C3=B3rbita del electr=C3=B3n en torno = al n=C3=BAcleo era una=20 =C3=B3rbita circular. La energ=C3=ADa potencial el=C3=A9ctrica U de un = electr=C3=B3n situado a una=20 distancia r de un n=C3=BAcleo de carga Ze (siendo Z el n=C3=BAmero = at=C3=B3mico del elemento=20 que est=C3=A1 siendo considerado, con Z =3D 1 para el hidr=C3=B3geno) = es:

(Nota: La=20 interpretaci=C3=B3n general que se le d=C3=A1 al n=C3=BAmero = at=C3=B3mico Z en el modelo at=C3=B3mico=20 planetario de Bohr para otros elementos distintos al hidr=C3=B3geno = tiene que ver con=20 los =C3=A1tomos hidrogenoides, = =C3=A1tomos que=20 tienen dos o m=C3=A1s protones en su n=C3=BAcleo pero un electr=C3=B3n = solitario girando en=20 torno al n=C3=BAcleo,; como el helio ionizado=20 He⁺ con dos protones en su n=C3=BAcleo y un electr=C3=B3n = solitario orbitando=20 en torno al n=C3=BAcleo, el litio doblemente=20 ionizado Li²⁺ con dos protones en su n=C3=BAcleo y un = electr=C3=B3n=20 solitario orbitando en torno al n=C3=BAcleo, el berilio triplemente ionizado Be^{3+ =}con tres=20 protones en su n=C3=BAcleo y un electr=C3=B3n solitario orbitando en = torno al n=C3=BAcleo, el=20 boro B⁴⁺ con cuatro protones en su n=C3=BAcleo y un = electr=C3=B3n solitario=20 orbitando en torno al n=C3=BAcleo, y el carbono C⁵⁺ con cinco = protones en=20 su n=C3=BAcleo y un electr=C3=B3n solitario orbitando en torno al = n=C3=BAcleo. Esto es=20 necesario porque si consideramos dos o m=C3=A1s electrones en = =C3=B3rbita en torno al=20 n=C3=BAcleo entonces la interacci=C3=B3n electr=C3=B3n-electr=C3=B3n por = la repulsi=C3=B3n entre los=20 electrones dificulta enormemente el an=C3=A1lisis matem=C3=A1tico del = problema).

La=20 energ=C3=ADa total E del electr=C3=B3n (que de aqu=C3=AD en adelante = consideraremos como la=20 energ=C3=ADa total del =C3=A1tomo para el caso del hidr=C3=B3geno) = ser=C3=A1 igual a la suma de la=20 energ=C3=ADa cin=C3=A9tica y la energ=C3=ADa potencial, o sea:

Para que haya estabilidad mec=C3=A1nica, la = fuerza de=20 atracci=C3=B3n el=C3=A9ctrica:

debe ser igual a la fuerza centr=C3=ADpeta = requerida para=20 mantener al electr=C3=B3n en una =C3=B3rbita circular, siendo =C3=A9sta = igual (cl=C3=A1sicamente) a=20 F =3D mv=C2=B2/r. Por lo tanto:

De esto podemos obtener una expresi=C3=B3n para = la energ=C3=ADa=20 cin=C3=A9tica en funci=C3=B3n de la distancia r:

De este modo, podemos ver que para =C3=B3rbitas = circulares la=20 energ=C3=ADa cin=C3=A9tica es igual a la mitad de la energ=C3=ADa = potencial U. Entonces la=20 energ=C3=ADa total E ser=C3=A1 igual a:

Usando la relaci=C3=B3n:

hf =3D E₁ - = E₂

para=20 la frecuencia de la radiaci=C3=B3n cuando el electr=C3=B3n salta de la = =C3=B3rbita 1 de radio=20 r₁ a la =C3=B3rbita 2 de radio r₂, tenemos = entonces:

Para poder obtener la f=C3=B3rmula de = Balmer-Ritz f =3D cf =3D cR(1/m=C2=B2 - = 1/n=C2=B2), resulta evidente=20 que los radios de las =C3=B3rbitas estables deben ser proporcionales a = los cuadrados=20 de n=C3=BAmeros enteros, o sea:

r_n =3D = n=C2=B2r₀

en=20 donde r₀ es por lo pronto una constante desconocida a ser = determinada=20 posteriormente. Esto tiene como consecuencia directa la = cuantizaci=C3=B3n de los=20 niveles energ=C3=A9ticos del =C3=A1tomo:

Tenemos entonces para la frecuencia de la=20 radiaci=C3=B3n:

Tomaremos ahora el problema de determinar = r₀.=20 La constante r₀ es el radio m=C3=A1s peque=C3=B1o posible, = pero puede ser=20 determinado considerando el caso especial para un n=C3=BAmero = cu=C3=A1ntico n muy grande.=20 Conforme n se aproxima al infinito, la diferencia energ=C3=A9tica entre = =C3=B3rbitas=20 adyacentes se aproxima a cero y la cuantizaci=C3=B3n debe tener un = efecto=20 pr=C3=A1cticamente nulo. Bohr razon=C3=B3 que para n=C3=BAmeros = cu=C3=A1nticos grandes, la f=C3=ADsica=20 cl=C3=A1sica debe dar los resultados correctos. Este principio es = conocido como el=20 principio de correspondencia: = para un n=C3=BAmero cu=C3=A1ntico n grande = la ecuaci=C3=B3n cu=C3=A1ntica=20 se convierte en la ecuaci=C3=B3n cl=C3=A1sica, los c=C3=A1lculos = cl=C3=A1sicos y los c=C3=A1lculos=20 cu=C3=A1nticos deben dar el mismo resultado. Escribiendo:

n₁ =3D n___n₂ =3D n - = 1

tenemos=20 entonces:

para n =C2=BB 1. Entonces, para n=C3=BAmeros = cu=C3=A1nticos grandes, la=20 f=C3=B3rmula de arriba para la frecuencia de la radiaci=C3=B3n toma la = siguiente=20 forma:

La frecuencia de la radiaci=C3=B3n predicha por = la teor=C3=ADa=20 cl=C3=A1sica es igual a la frecuencia de revoluci=C3=B3n del = electr=C3=B3n en torno al n=C3=BAcleo=20 at=C3=B3mico, siendo =C3=A9sta f_rev =3D v/2=CF=80r. De lo = anterior tenemos entonces=20 para esto =C3=BAltimo:

Haciendo la frecuencia de revoluci=C3=B3n = f_rev=C2=B2=20 igual a la frecuencia de radiaci=C3=B3n f=C2=B2, obtenemos lo = siguiente:

o bien, despejando para r₀:

en donde a₀ =3D = h=C2=B2/(4=CF=80=C2=B2ke=C2=B2m) siendo m =3D=20 m_e la masa del electr=C3=B3n.

Poniendo la = expresi=C3=B3n que hemos=20 obtenido arriba para r₀ en la f=C3=B3rmula para las = frecuencias de=20 radiaci=C3=B3n, obtenemos lo siguiente:

PROBLEMA: Evaluar el radio a₀ de la primera =C3=B3rbita del electr=C3=B3n = para el =C3=A1tomo de=20 hidr=C3=B3geno. = Util=C3=ADcense unidades en el=20 sistema MKS-SI para la resoluci=C3=B3n de este = problema.

Para el =C3=A1tomo=20 de hidr=C3=B3geno se tiene Z =3D 1. En el sistema MKS-SI, la constante k = que debe ser=20 utilizada es igual a k =3D 1/4=CF=80=CE=B5₀. = Entonces:

Hist=C3=B3ricamente, a esta longitud = a₀ =3D 0.529 =C3=85,=20 el primer radio de la =C3=B3rbita del modelo at=C3=B3mico planetario de = Bohr, se le=20 consider=C3=B3 tan fundamental que se le di=C3=B3 un nombre especial = honrando a su=20 descubridor, el Bohr, = frecuentemente=20 midi=C3=A9ndose los radios de las dem=C3=A1s =C3=B3rbitas en = m=C3=BAltiplos del radio de Bohr=20 a₀. La designaci=C3=B3n a=C3=BAn subsiste, pese al hecho de = que en la Mec=C3=A1nica=20 Cu=C3=A1ntica moderna se considera que este radio no es observable e = inclusive no es=20 posible ascribirle al electr=C3=B3n una distancia fija con respecto al = n=C3=BAcleo at=C3=B3mico=20 siendo posible =C3=BAnicamente hablar acerca de la probabilidad de poder encontrar al = electr=C3=B3n a=20 cierta distancia del n=C3=BAcleo, m=C3=A1s no la certeza.

PROBLEMA: Determ=C3=ADnese la energ=C3=ADa de un = =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno que=20 se encuentra en su estado fundamental. Util=C3=ADcense unidades en el sistema = MKS-SI para la=20 resoluci=C3=B3n de este problema.

Escribiendo la = f=C3=B3rmula para el nivel=20 energ=C3=A9tico del =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno en su estado = fundamental de la siguiente=20 manera:

entonces, utilizando las constantes = f=C3=ADsicas en el sistema=20 MKS-SI:

m_e =3D 9.109=C3=97=20 10^-31 kilogramo

e=3D 1.602=C3=97=20 10^-19 coulomb

=CE=B5₀ =3D 8.854=C3=97=20 10^-12 coulomb=C2=B2/Newton=C2=B7metro=C2=B2

h =3D = 6.626=C3=97=20 10^-34 joule=C2=B7segundo

tenemos el siguiente = resultado:

Puesto que 1 electr=C3=B3n-voltio equivale a = 1.602=C3=97=20 10^-19 joule, la energ=C3=ADa del =C3=A1tomo de hidr=C3=B3geno = (considerada aqu=C3=AD como=20 la energ=C3=ADa del electr=C3=B3n en el estado fundamental) ser=C3=A1 = igual a -13.6=20 eV.

PROBLEMA: (1) Calc=C3=BAlese la frecuencia de la = rotaci=C3=B3n de un=20 electr=C3=B3n en el estado n =3D 10. (2) Calc=C3=BAlese la frecuencia de = la luz emitida=20 cuando un electr=C3=B3n desciende del estado n =3D 10 al estado n =3D 9. = Util=C3=ADcense=20 unidades en el sistema cgs-Gaussiano para la resoluci=C3=B3n de este=20 problema.

(1) La energ=C3=ADa de un electr=C3=B3n situado = en el nivel n =3D=20 10, calculada en el sistema de unidades cgs-Gaussiano, ser=C3=A1 la=20 siguiente:

Suponiendo que toda esta energ=C3=ADa es = energ=C3=ADa cin=C3=A9tica de=20 rotaci=C3=B3n del electr=C3=B3n alrededor del n=C3=BAcleo, entonces = podemos calcular con esto=20 su velocidad tangencial orbital:

A continuaci=C3=B3n, calculamos el radio de la = =C3=B3rbita cuando=20 el electr=C3=B3n est=C3=A1 en el estado n =3D 10:

Teniendo la velocidad tangencial orbital = y el radio=20 de la =C3=B3rbita, podemos calcular la frecuencia de la rotaci=C3=B3n = del electr=C3=B3n=20 alrededor del n=C3=BAcleo partiendo del hecho de que la velocidad = angular =CF=89 es igual=20 a la velocidad tangencial entre el radio y la velocidad angular es = tambi=C3=A9n igual=20 a 2=CF=80 veces la frecuencia de rotaci=C3=B3n:

Por otro lado, la energ=C3=ADa del fot=C3=B3n = luminoso emitido=20 cuando desciende del nivel n =3D 10 al nivel n =3D 9 ser=C3=A1:

en donde el signo negativo indica que esta es = una energ=C3=ADa=20 liberada por el =C3=A1tomo en lugar de ser una energ=C3=ADa que se le = tenga que=20 suministrar. La frecuencia del fot=C3=B3n luminoso (que en este problema = identificaremos con la letra =CE=BD para no confundirla con la = frecuencia de rotaci=C3=B3n=20 que acabamos de calcular arriba) se obtiene entonces con la f=C3=B3rmula = b=C3=A1sica que=20 relaciona a la energ=C3=ADa de un fot=C3=B3n con su frecuencia:

Si comparamos la frecuencia de la rotaci=C3=B3n = de un electr=C3=B3n=20 en el estado n =3D 10 con la frecuencia de la luz emitida cuando un = electr=C3=B3n=20 desciende del estado n =3D 10 al estado contiguo n =3D 9, podremos ver que = ambas=20 cantidades tienen el mismo orden de magnitud, y de hecho ambos = resultados=20 num=C3=A9ricos no est=C3=A1n tan alejados el uno del otro. Esto, desde = luego, es el principio de correspondencia de Bohr = en=20 acci=C3=B3n. Este sencillo problema nos demuestra que en realidad no es = necesario que=20 los n=C3=BAmeros cu=C3=A1nticos sean tan grandes para que se establezca = la=20 correspondencia. Naturalmente que para n=C3=BAmeros cu=C3=A1nticos = realmente grandes, la=20 correspondencia se convierte en una igualdad. Y aunque la = comparaci=C3=B3n se=20 establece suponiendo que el electr=C3=B3n cae de un estado de = energ=C3=ADa n+1 a un estado=20 de energ=C3=ADa contiguo n, = podemos comprobar=20 echando n=C3=BAmeros que para n=C3=BAmeros cu=C3=A1nticos grandes la = correspondencia se=20 sostendr=C3=A1 con un grado razonable de aproximaci=C3=B3n a=C3=BAn = cuando los estados=20 energ=C3=A9ticos no sean contiguos.

PROBLEMA: Encu=C3=A9ntrese la diferencia entre las = longitudes de=20 onda de la l=C3=ADnea del hidr=C3=B3geno correspondiente a la = transici=C3=B3n=20 n₁ =3D 3 =E2=86=92 n₂ =3D 2 y la=20 l=C3=ADnea del helio simplemente ionizado correspondiente a la = transici=C3=B3n=20 n₁ =3D 6 =E2=86=92 n₂ =3D 4. T=C3=B3mense como valores para las = constantes de Rydberg=20 los siguientes:

R_H =3D 1.09678=C3=9710^-3/=C3=85

R_He =3D 1.09722=C3=9710^-3/=C3=85

De=20 la relaci=C3=B3n fundamental para un elemento con n=C3=BAmero = at=C3=B3mico Z:

tenemos lo siguiente para el =C3=A1tomo de = hidr=C3=B3geno con una=20 transici=C3=B3n n₁ =3D 3 =E2=86=92 n₂ =3D = 2:

y tenemos lo siguiente para el =C3=A1tomo de = helio con una=20 transici=C3=B3n n₁ =3D 6 =E2=86=92 n₂ =3D = 4:

Tomando diferenciales en la primera = relaci=C3=B3n e=20 introduciendo los =C3=BAltimos resultados que vienen siendo lo = mismo:

En esto =C3=BAltimo podemos hacer una buena = aproximaci=C3=B3n=20 reemplazando los infinitesimales por incrementos finitos escribiendo = as=C3=AD lo=20 siguiente:

Regresando a la relaci=C3=B3n previa, vemos = que:

Entonces:

Metiendo n=C3=BAmeros:

Haciendo Z =3D 1 para el caso del = hidr=C3=B3geno y comparando lo=20 que obtenemos con la f=C3=B3rmula Balmer-Ritz, tendremos lo siguiente = para la=20 frecuencia de Rydberg:

Puesto que cada capa representa un nivel = energ=C3=A9tico=20 distinto (y al decir esto nos estamos refiriendo al nivel = energ=C3=A9tico de un=20 electr=C3=B3n que est=C3=A9 situado en una capa cualquiera), se = acostumbra representar las=20 transiciones de una capa a otra mediante lo que se conoce como diagramas de niveles de energ=C3=ADa = como el=20 siguiente:

La capa para la cual n =3D 1 es conocida como = el estado fundamental o estado basal.

Sin importar el = estado=20 que est=C3=A9 ocupando un electr=C3=B3n en un =C3=A1tomo, ya sea que se = encuentre en el estado=20 fundamental o que se encuentre en un estado excitado, si proporcionamos=20 suficiente energ=C3=ADa al =C3=A1tomo (por ejemplo mediante descargas = el=C3=A9ctricas) podemos=20 arrancarle dicho electr=C3=B3n al =C3=A1tomo, de modo tal que si el = =C3=A1tomo anteriormente=20 estaba en un estado el=C3=A9ctricamente neutro (con la misma cantidad de = cargas=20 positivas que negativas) ahora se encontrar=C3=A1 en un estado ionizado, manifestando una carga = el=C3=A9ctrica=20 neta positiva:

Lo que hemos visto arriba reproduce en = esencia la=20 misma l=C3=ADnea de pensamiento utilizada por Bohr al estar = desarrollando sus ideas.=20 Sin embargo, entre las f=C3=B3rmulas se escond=C3=ADa algo de mucha = mayor trascendencia=20 todav=C3=ADa, algo que al ser descubierto ser=C3=ADa adoptado por el = mismo Bohr como=20 postulado para su modelo at=C3=B3mico.

PROBLEMA: Demostrar que el desarrollo original = utilizado por=20 Bohr para la obtenci=C3=B3n de sus f=C3=B3rmulas implica necesariamente = la cuantizaci=C3=B3n=20 del momento angular orbital.

Cl=C3=A1sicamente, el momento = angular=20 orbital L de una part=C3=ADcula = de masa m=20 girando con una velocidad v en = torno a=20 otro cuerpo que act=C3=BAa como n=C3=BAcleo proporcionando la fuerza = atractiva que la=20 mantiene en =C3=B3rbita:

est=C3=A1 dado por la relaci=C3=B3n = vectorial del producto=20 cruz:

siendo p =3D mv el momentum lineal de la=20 part=C3=ADcula.

Para el modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr, = el momento angular=20 de un electr=C3=B3n movi=C3=A9ndose en una =C3=B3rbita circular de radio = r_n=20 es:

L =3D mvr_n

Usando = el resultado=20 previo r_n=3D n=C2=B2r₀tenemos entonces:

L =3D mv(n=C2=B2r₀) =3D=20 n=C2=B2mvr₀

Usando otro de los resultados previos=20 tenemos:

Por otro lado, tenemos tambi=C3=A9n de otro = resultado previo=20 lo siguiente:

Por lo tanto:

Pero mvr_n =3D L. Entonces:

Esto =C3=BAltimo lo podemos compactar a=C3=BAn = m=C3=A1s usando una=20 notaci=C3=B3n simplificada propuesta por Paul Adrien Maurice Dirac, = conocida como=20 hbarrada =C3=B3 h barra que sirve para representar a = la constante reducida de Planck = h/2=CF=80 con un solo=20 s=C3=ADmbolo, =C4=A7, permiti=C3=A9ndonos=20 escribir la anterior relaci=C3=B3n como:

Ya desde los tiempos en los que Max Planck = hab=C3=ADa resuelto=20 el problema de la radiaci=C3=B3n del cuerpo negro descubriendo la famosa = constante=20 que lleva su nombre, era obvio que dicha constante ten=C3=ADa las = unidades de momento=20 angular. Pero en ese entonces el modelo at=C3=B3mico planetario de Bohr = a=C3=BAn no hab=C3=ADa=20 sido descubierto, y no era muy clara la relaci=C3=B3n que pudiera tener = el momento=20 angular como tal con la cuantizaci=C3=B3n de la energ=C3=ADa. Ahora, por = vez primera, se=20 ten=C3=ADa un resultado en el cual aparec=C3=ADa la constante de Planck = ligada a un n=C3=BAmero=20 entero positivo n, siendo este resultado la relaci=C3=B3n m=C3=A1s = sencilla de todas las=20 relaciones posibles. Esto era la se=C3=B1al m=C3=A1s clara de que, a un = nivel fundamental,=20 la cuantizaci=C3=B3n del momento angular era algo inclusive m=C3=A1s = b=C3=A1sico que la=20 cuantizaci=C3=B3n de la energ=C3=ADa o la cuantizaci=C3=B3n de los = radios de las =C3=B3rbitas del=20 electr=C3=B3n en torno al n=C3=BAcleo. La cuantizaci=C3=B3n del momento = angular pod=C3=ADa=20 utilizarse como punto esencial de partida para la construcci=C3=B3n de = una nueva=20 ciencia. Bohr no tard=C3=B3 en darse cuenta del hecho, y fue as=C3=AD = como en su papel en=20 el cual Bohr anunci=C3=B3 su descubrimiento al mundo asent=C3=B3 toda su = teor=C3=ADa sobre los=20 siguientes dos postulados:

(1) Los electrones se mueven en =C3=B3rbitas circulares = estables,=20 consistentes con la ley cl=C3=A1sica de la atracci=C3=B3n = el=C3=A9ctrica entre dos cargas=20 el=C3=A9ctricas opuestas y las leyes cl=C3=A1sicas del movimiento de = Newton, estando=20 especificadas dichas =C3=B3rbitas por una cuantizaci=C3=B3n del = momento angular:

L =3D n=C4=A7

(2) Cuando un = electr=C3=B3n salta=20 de una =C3=B3rbita de energ=C3=ADa E₁ a una =C3=B3rbita de = energ=C3=ADa E₂,=20 se emite un fot=C3=B3n cuya frecuencia de radiaci=C3=B3n = ser=C3=A1:

=CE=BD =3D (E₁ -=20 E₂)/h

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